Proportionen: 8 Aufgaben mit Lösungen und Dreisatz

Eine Proportion ist die Gleichheit zweier Verhältnisse: 3 : 12 = 5 : 20 liest man “3 verhält sich zu 12 wie 5 zu 20”, und die Aussage stimmt, weil beide Verhältnisse 0,25 ergeben. Eine einzige Regel löst alle Aufgaben: das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder.

Die Namen der Glieder

In einer Proportion a : b = c : d hat jede der vier Zahlen einen festen Namen, und sie zu verwechseln ist der Fehler, der alles Weitere entgleisen lässt.

Glied	Position in a : b = c : d	Name
a	erstes	Vorderglied des ersten Verhältnisses, Außenglied
b	zweites	Hinterglied des ersten Verhältnisses, Innenglied
c	drittes	Vorderglied des zweiten Verhältnisses, Innenglied
d	viertes	Hinterglied des zweiten Verhältnisses, Außenglied

Die Außenglieder sind das erste und das letzte, die Innenglieder stehen in der Mitte. Daraus folgt die Grundeigenschaft: b · c = a · d. Schreibt man die Proportion als Brüche a/b = c/d, ist das genau das Multiplizieren über Kreuz.

So findest du das fehlende Glied

Vier verschiedene Formeln muss niemand auswendig lernen: der Mechanismus bleibt immer gleich, es ändert sich nur, welches Paar du multiplizierst.

Unbekannte	Formel	Beispiel
erstes Glied (außen)	x = (b · c) : d	x : 12 = 5 : 20 → x = (12 · 5) : 20 = 3
zweites Glied (innen)	x = (a · d) : c	3 : x = 5 : 20 → x = (3 · 20) : 5 = 12
drittes Glied (innen)	x = (a · d) : b	3 : 12 = x : 20 → x = (3 · 20) : 12 = 5
viertes Glied (außen)	x = (b · c) : a	3 : 12 = 5 : x → x = (12 · 5) : 3 = 20

Kurz gesagt: multipliziere die beiden bekannten Glieder der anderen Sorte und teile durch das dritte bekannte Glied.

Proportion und Dreisatz sind dasselbe

Der Dreisatz ist nichts anderes als eine Proportion, in der man zuerst auf eine Einheit zurückrechnet. Bei den Heften: 4 Hefte kosten 6,00 €, ein Heft kostet 6 : 4 = 1,50 €, sieben Hefte kosten 1,50 · 7 = 10,50 €. Dasselbe Ergebnis liefert 4 : 6 = 7 : x in einem einzigen Schritt.

Beim umgekehrten Dreisatz ändert sich der mittlere Schritt: man rechnet nicht auf eine Einheit herunter, sondern auf die Gesamtmenge an Arbeit hoch. 6 Arbeiter mal 10 Tage ergeben 60 Arbeitstage, und diese 60 verteilst du auf die neue Anzahl.

Die vier Eigenschaften zum Merken

Neben der Grundeigenschaft gibt es vier Umformungen, die eine Proportion wahr lassen. Gebraucht werden sie vor allem, wenn die Aufgabe Summe oder Differenz der Glieder angibt.

Eigenschaft	Aus a : b = c : d wird	Wann man sie nutzt
Umkehren	b : a = d : c	um die Unbekannte in den Zähler zu holen
Innenglieder vertauschen	a : c = b : d	um gleichartige Größen zu vergleichen
Zusammensetzen	(a + b) : b = (c + d) : d	wenn die Summe gegeben ist
Zerlegen	(a − b) : b = (c − d) : d	wenn die Differenz gegeben ist

Ein Beispiel zum Zusammensetzen: stehen zwei Anteile im Verhältnis 3 : 4, so ergibt sich (3 + 4) : 4 = 7 : 4. Ist die Summe der Anteile 84, schreibst du 84 : x = 7 : 4 und erhältst den größeren Anteil sofort: x = (84 · 4) : 7 = 48. Das ist dasselbe Ergebnis wie in Aufgabe vier, wo das Ganze in 7 gleiche Teile zerlegt wird.

Proportional und antiproportional

Hier passiert die Hälfte aller Fehler, denn das Schema der Proportion scheint immer zu funktionieren, aber die Schreibweise ändert sich.

	Proportional	Antiproportional
Verdoppelt sich die eine Größe	verdoppelt sich die andere	halbiert sich die andere
Konstant bleibt	das Verhältnis y : x	das Produkt x · y
Formel	y = k · x	y = k : x
Beispiele	Hefte und Preis, Arbeitsstunden und Lohn, Zutaten eines Rezepts	Arbeiter und Tage, Geschwindigkeit und Fahrzeit, Personenzahl und Reichweite eines Vorrats

Bei antiproportionalen Größen wird die Proportion mit einem umgekehrten Verhältnis geschrieben: 6 Arbeiter verhalten sich zu 4 Arbeitern wie die Tage der 4 zu den Tagen der 6.

Die häufigsten Fehler

Der erste: einen proportionalen Ansatz wählen, wo der Zusammenhang antiproportional ist. Wenn du die Zahl der Arbeiter senkst und eine kürzere Zeit herausbekommst, ist das Ergebnis falsch, so sauber die Rechnung auch aussieht. Frage dich vor dem Rechnen immer, ob das Ergebnis größer oder kleiner als der Ausgangswert sein muss.

Der zweite: Einheiten mischen. In einer Proportion zwischen Längen darf nicht auf einer Seite in Zentimetern und auf der anderen in Metern gerechnet werden. Rechne alles um, bevor du die Grundeigenschaft anwendest.

Der dritte betrifft Flächen. Vergrößerst du eine Figur mit dem Faktor 1,6, so werden Längen mit 1,6 multipliziert, Flächen aber mit 1,6² = 2,56 und Volumina mit 1,6³. Flächen sind nicht proportional zu den Seiten, sondern zu deren Quadraten.

Der vierte ist reine Rechenarbeit: die abschließende Division verpatzen. Ein Verhältnis von Zahlen ist ein Bruch, deshalb lohnt sich Kürzen vor dem Multiplizieren, genau wie in der Bruchrechnung.

Proportionen, Prozente und Gleichungen

Ein Prozentsatz ist eine Proportion mit einem auf 100 festgelegten Glied: “15 % von 240” schreibt man 15 : 100 = x : 240. Wenn dir dieses Schema liegt, kannst du sämtliche Aufgaben zur Prozentrechnung damit lösen, Rabatte und Aufschläge eingeschlossen.

Außerdem macht die Grundeigenschaft aus jeder Proportion eine Gleichung der Form a · x = b: ab da löst du eine lineare Gleichung, und deshalb besteht der letzte Schritt immer darin, beide Seiten durch den Koeffizienten von x zu teilen.

So gehst du die Aufgaben an

Die acht Aufgaben unten folgen der Reihenfolge, in der man das Thema wirklich lernt: zuerst das fehlende Glied und die Prüfung einer Proportion, dann die proportionalen Sachaufgaben, das Aufteilen eines Ganzen im gegebenen Verhältnis und der Maßstab, anschließend der antiproportionale Fall, an dem die meisten scheitern, und zum Schluss das geometrische Mittel sowie die Vergrößerung, bei der das Verhältnis der Flächen nicht das der Seiten ist. Jedes Ergebnis ist durch Rückwärtsrechnen geprüft.