Mathematik
Lineare Gleichungen: 8 Aufgaben mit Lösungen
ax + b = 0 löst man, indem man x isoliert und durch den Koeffizienten teilt. Methode in 3 Schritten, Tabelle der Fälle und 8 Aufgaben mit vollem Lösungsweg.
Empfohlen für: 8. Klasse · 9. Klasse
Eine lineare Gleichung der Form ax + b = 0 mit a ungleich null löst man, indem man die Variable isoliert: Terme mit x auf die eine Seite, Zahlen auf die andere, danach durch den Koeffizienten von x teilen. Solange a nicht null ist, gibt es genau eine Lösung.
Die beiden Äquivalenzumformungen
Die ganze Methode beruht auf zwei Regeln, mit denen sich eine Gleichung umformen lässt, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert.
| Umformung | Was erlaubt ist | Praktische Folge |
|---|---|---|
| Additiv | Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren | Die Abkürzung mit dem Vorzeichenwechsel beim Seitenwechsel |
| Multiplikativ | Beide Seiten mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren oder durch sie teilen | Nenner beseitigen und am Ende durch den Koeffizienten teilen |
Die Einschränkung bei der zweiten Regel ist entscheidend: niemals durch null teilen und auch nicht durch einen Term, der null sein könnte. Deshalb darf man ax = b nur dann durch a teilen, wenn a ungleich null ist.
Die Methode in drei Schritten
1. Jede Seite vereinfachen. Klammern auflösen, gleichartige Terme zusammenfassen. Bei Brüchen alle Terme mit dem Hauptnenner multiplizieren: wer beim Hauptnenner noch unsicher ist, sollte vorher die Bruchrechnung wiederholen.
2. Sortieren. Terme mit x nach links, Zahlen nach rechts, jeweils mit Vorzeichenwechsel.
3. Durch den Koeffizienten teilen. Die Gleichung steht dann als ax = b da, und die Lösung ist x = b/a.
Die drei möglichen Fälle
Nach dem Zusammenfassen hat jede lineare Gleichung die Form ax = b. Was danach passiert, hängt nur von a und b ab.
| Endform | Beispiel | Anzahl der Lösungen | Lösungsmenge |
|---|---|---|---|
| ax = b mit a ≠ 0 | 3x = 12 | Genau eine | x = 4 |
| 0x = b mit b ≠ 0 | 0x = 11 | Keine | Leere Menge |
| 0x = 0 | 0x = 0 | Unendlich viele | Alle reellen Zahlen |
Die häufigsten Fehler
- Den Vorzeichenwechsel vergessen, wenn ein Term die Seite wechselt. Aus -3 in 5x - 3 = 2x + 9 wird auf der anderen Seite +3.
- Nur einen Term teilen. Bei 3x + 6 = 12 darf man nicht nur 3x durch 3 teilen: die Division betrifft beide Seiten vollständig.
- Vorzeichenfehler nach einem Minus vor der Klammer. -2(x - 3) ergibt -2x + 6, nicht -2x - 6.
- Nur die Brüche mit dem Hauptnenner multiplizieren. In (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 muss auch die 1 mit 10 multipliziert werden.
- x = 0 mit keiner Lösung verwechseln. Wer bei 3x = 0 landet, hat die gültige Lösung x = 0 gefunden.
- Die Probe weglassen. Den gefundenen Wert in die Ausgangsgleichung einzusetzen dauert wenige Sekunden und deckt fast alle Vorzeichenfehler auf.
Sobald die Variable im Quadrat steht, greift dieses Verfahren nicht mehr: dann führt der Weg über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Viele Sachaufgaben zu Rabatt und Aufschlag werden dagegen zu linearen Gleichungen, sobald man den Text übersetzt, wie bei den Aufgaben zur Prozentrechnung.
In den Aufgaben unten bleibt die Methode gleich, die Schwierigkeit steigt aber: Es geht von einfachen Gleichungen über Klammern, Brüche und Dezimalzahlen zur Einteilung nach der Anzahl der Lösungen und endet mit einer Sachaufgabe, die zuerst in eine Gleichung übersetzt werden muss.
Gelöste Aufgaben
1. Löse: 2x + 6 = 0 base
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- Ich bringe die Zahl auf die rechte Seite, indem ich auf beiden Seiten 6 subtrahiere: 2x = -6.
- Ich teile beide Seiten durch den Koeffizienten von x: x = -6 : 2.
- x = -3.
- Probe: 2 · (-3) + 6 = -6 + 6 = 0. Stimmt.
Ergebnis: x = -3
2. Löse: 5x - 3 = 2x + 9 base
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- Ich sortiere: Terme mit x nach links, Zahlen nach rechts, wobei jeder Term beim Wechsel der Seite das Vorzeichen wechselt: 5x - 2x = 9 + 3.
- Ich fasse zusammen: 3x = 12.
- Ich teile durch 3: x = 4.
- Probe: 5 · 4 - 3 = 17 und 2 · 4 + 9 = 17. Beide Seiten sind gleich.
Ergebnis: x = 4
3. Löse: 3(x - 2) = 2(x + 4) base
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- Ich löse die Klammern auf: 3x - 6 = 2x + 8.
- Ich sortiere: 3x - 2x = 8 + 6.
- x = 14.
- Probe: 3 · (14 - 2) = 36 und 2 · (14 + 4) = 36. Stimmt.
Ergebnis: x = 14
4. Löse: (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 intermedio
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- Der Hauptnenner von 2 und 5 ist 10.
- Ich multipliziere ALLE Terme mit 10, auch die 1 auf der rechten Seite: 5(x + 1) - 2(x - 3) = 10.
- Vorsicht beim Minus vor der Klammer: 5x + 5 - 2x + 6 = 10.
- Zusammenfassen: 3x + 11 = 10, also 3x = -1.
- x = -1/3.
- Probe: (-1/3 + 1)/2 = (2/3)/2 = 1/3 und (-1/3 - 3)/5 = (-10/3)/5 = -2/3. Also 1/3 - (-2/3) = 1. Stimmt.
Ergebnis: x = -1/3
5. Löse: 0,4x + 1,2 = 0,1x + 3 intermedio
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- Ich kann mit den Dezimalzahlen weiterrechnen oder alle Terme mit 10 multiplizieren. Ich wähle den zweiten Weg: 4x + 12 = x + 30.
- Ich sortiere: 4x - x = 30 - 12.
- 3x = 18, also x = 6.
- Probe mit den ursprünglichen Dezimalzahlen: 0,4 · 6 + 1,2 = 2,4 + 1,2 = 3,6 und 0,1 · 6 + 3 = 0,6 + 3 = 3,6. Stimmt.
Ergebnis: x = 6
6. Löse: (2x - 1)/3 - (x + 2)/4 = (x - 5)/6 intermedio
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- Der Hauptnenner von 3, 4 und 6 ist 12.
- Ich multipliziere alle Terme mit 12: 4(2x - 1) - 3(x + 2) = 2(x - 5).
- Klammern auflösen: 8x - 4 - 3x - 6 = 2x - 10.
- Linke Seite zusammenfassen: 5x - 10 = 2x - 10.
- Sortieren: 5x - 2x = -10 + 10, also 3x = 0.
- x = 0. Achtung: x = 0 ist eine gültige Lösung und bedeutet nicht, dass die Gleichung keine Lösung hat.
- Probe: (2 · 0 - 1)/3 - (0 + 2)/4 = -1/3 - 1/2 = -5/6 und (0 - 5)/6 = -5/6. Stimmt.
Ergebnis: x = 0
7. Gib für jede Gleichung an, ob sie genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat, und begründe. a) 2(x - 3) = 2x + 5; b) 3(x + 2) = 3x + 6; c) 7x - 4 = 3x + 8. avanzato
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- a) Klammern auflösen: 2x - 6 = 2x + 5. Sortieren: 2x - 2x = 5 + 6, also 0x = 11. Keine Zahl mal null ergibt 11: die Gleichung hat keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
- b) 3x + 6 = 3x + 6, also 0x = 0. Jede Zahl erfüllt die Gleichung: unendlich viele Lösungen, es handelt sich um eine allgemeingültige Gleichung.
- c) 7x - 3x = 8 + 4, also 4x = 12 und x = 3. Genau eine Lösung.
- Die allgemeine Regel: nach dem Zusammenfassen hat jede lineare Gleichung die Form ax = b. Ist a ungleich null, gibt es genau eine Lösung; ist a = 0 und b ungleich null, gibt es keine; sind a und b beide null, ist jede Zahl Lösung.
Ergebnis: a) keine Lösung (0x = 11); b) unendlich viele Lösungen (0x = 0); c) genau eine Lösung, x = 3
8. Ein Handytarif kostet 9,90 € Grundgebühr pro Monat und zusätzlich 0,12 € pro Gesprächsminute. Die Rechnung beträgt 21,90 €. Wie viele Minuten wurden telefoniert? Stelle zuerst die Gleichung auf. avanzato
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- Ich wähle die Variable: m sei die Anzahl der Gesprächsminuten.
- Ich übersetze den Text nach dem Muster fester Anteil plus variabler Anteil: 9,90 + 0,12m = 21,90.
- Ich isoliere den Term mit m: 0,12m = 21,90 - 9,90 = 12.
- Ich teile: m = 12 : 0,12 = 100.
- Probe: 9,90 + 0,12 · 100 = 9,90 + 12 = 21,90. Stimmt.
- Plausibilitätskontrolle: 100 Minuten im Monat sind ein realistischer Wert. Ein negatives Ergebnis hätte auf einen Fehler beim Aufstellen der Gleichung hingewiesen.
Ergebnis: 100 Minuten
Häufige Fragen
Wie löst man eine lineare Gleichung Schritt für Schritt?
In drei Schritten. Zuerst wird jede Seite vereinfacht: Klammern auflösen, gleichartige Terme zusammenfassen und bei Brüchen alle Terme mit dem Hauptnenner multiplizieren. Dann werden die Terme mit x auf die linke Seite und die Zahlen auf die rechte Seite gebracht, wobei jeder Term beim Seitenwechsel das Vorzeichen wechselt. Zum Schluss teilt man beide Seiten durch den Koeffizienten von x. Danach setzt man den gefundenen Wert zur Probe in die Ausgangsgleichung ein.
Wann hat eine lineare Gleichung keine Lösung?
Wenn nach dem Zusammenfassen 0x = b mit b ungleich null herauskommt, zum Beispiel 0x = 11. Keine Zahl mal null ergibt einen Wert ungleich null, die Lösungsmenge ist also leer. Der umgekehrte Fall ist 0x = 0: dann erfüllt jede Zahl die Gleichung und es gibt unendlich viele Lösungen. Beides darf man nicht mit x = 0 verwechseln, denn das ist eine ganz normale Lösung.
Warum dreht sich das Vorzeichen, wenn ein Term die Seite wechselt?
Weil in Wirklichkeit nichts die Seite wechselt: man addiert oder subtrahiert auf beiden Seiten dieselbe Zahl. Bei x + 5 = 12 ergibt das Subtrahieren von 5 auf beiden Seiten x + 5 - 5 = 12 - 5, also x = 7. Der Vorzeichenwechsel ist nur die Kurzschreibweise dafür. Das ist die erste Äquivalenzumformung: dieselbe Zahl auf beiden Seiten zu addieren oder zu subtrahieren ändert die Lösungsmenge nicht.
Wie löst man Gleichungen mit Brüchen?
Man bestimmt den Hauptnenner und multipliziert damit alle Terme der Gleichung, auch die, die keine Brüche sind. Bei (x + 1)/2 - (x - 3)/5 = 1 ist der Hauptnenner 10, und die Gleichung wird zu 5(x + 1) - 2(x - 3) = 10. Die beiden häufigsten Fehler sind, den Term auf der rechten Seite nicht mitzumultiplizieren und beim Minus vor der Klammer die Vorzeichen nicht zu drehen.
Was ist der Unterschied zwischen einer Gleichung und einer allgemeingültigen Gleichung?
Eine gewöhnliche Gleichung ist nur für bestimmte Werte der Variablen wahr, eine allgemeingültige für alle. Bei 2x = 6 passt nur x = 3. Dagegen gilt 3(x + 2) = 3x + 6 für jedes x, denn die rechte Seite ist lediglich die ausmultiplizierte linke: das ist eine Identität, und in einer Aufgabe lautet die richtige Antwort, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat.