Mathematik

Prozentrechnung: 8 Aufgaben mit Lösungen

Prozente berechnet man, indem man den Grundwert mal p nimmt und durch 100 teilt. Formeln, Umrechnungstabelle und 8 Aufgaben mit komplettem Lösungsweg und Probe.

Die drei Grundformeln

Der Grundwert G ist das Ganze, der Prozentwert W der Anteil davon und der Prozentsatz p % gibt an, wie groß dieser Anteil ist. Die drei Formeln sind dieselbe Beziehung aus drei Blickwinkeln.

Gesuchte Größe	Formel	Beispiel
Prozentwert W	W = G · p/100	18 % von 450 = 450 · 0,18 = 81
Prozentsatz p	p = W/G · 100	84 von 240 = 84/240 · 100 = 35 %
Grundwert G	G = W · 100/p	15 % sind 60, also 60 : 0,15 = 400

Die letzten beiden Zeilen bereiten die meisten Schwierigkeiten. Die Faustregel lautet: Fehlt der Prozentwert, wird multipliziert; fehlt der Grundwert, wird geteilt. Wer die Bruchrechnung sicher beherrscht, erkennt sofort, dass es immer um dieselbe Verhältnisgleichung geht.

Prozent, Bruch und Dezimalzahl

Diese fünf Zeilen auswendig zu können erspart im Alltag fast jede schriftliche Rechnung, besonders vor einem Preisschild im Schlussverkauf.

Prozent	Bruch	Dezimalzahl	Kopfrechentrick
10 %	1/10	0,1	durch 10 teilen
20 %	1/5	0,2	durch 5 teilen
25 %	1/4	0,25	durch 4 teilen
50 %	1/2	0,5	halbieren
75 %	3/4	0,75	Hälfte plus ein Viertel

Rabatt und Aufschlag: der Faktor

Man sollte nicht erst den Rabatt ausrechnen und dann abziehen, sondern einmal mit dem Faktor multiplizieren. Ein Rabatt von 15 % lässt 85 % des Preises übrig, der Faktor ist also 0,85. Ein Aufschlag von 19 % ergibt den Faktor 1,19.

Situation	Faktor	Beispiel
Rabatt von 15 %	1 - 0,15 = 0,85	480 · 0,85 = 408 €
Aufschlag von 19 % (Mehrwertsteuer)	1 + 0,19 = 1,19	180 · 1,19 = 214,20 €
Zurück zum alten Preis	durch den Faktor teilen	96 : 0,75 = 128 €
20 % Rabatt, danach 20 % Aufschlag	0,80 · 1,20 = 0,96	Endpreis 4 % niedriger

Am Faktor sieht man auch, dass aufeinanderfolgende Prozentsätze multipliziert und niemals addiert werden: zwei Rabatte von 20 % ergeben keine 40 %, sondern 0,80 · 0,80 = 0,64, also 36 % Rabatt. Wiederholt sich derselbe Faktor mehrfach, wird daraus eine Potenz, und es gelten die Potenzgesetze.

Prozentpunkte sind keine Prozent

Wenn sich ein Prozentsatz ändert, gibt es zwei richtige Arten, diese Änderung zu messen, und sie liefern verschiedene Zahlen.

Steigt der Anteil der Radfahrer von 12 % auf 15 %, beträgt der Anstieg 3 Prozentpunkte (15 - 12). Die prozentuale Änderung ist dagegen 3/12 = 0,25, also 25 %. Zu sagen, der Anteil sei um 3 % gestiegen, ist falsch. Bei Aufgaben, in denen der Grundwert unbekannt ist, schreibt man die Beziehung mit einer Variablen auf und löst sie wie eine der linearen Gleichungen: der Prozentsatz ist dann nur noch ein Koeffizient.

Die häufigsten Fehler

Zwei aufeinanderfolgende Prozentsätze addieren. 20 % Rabatt und noch einmal 20 % Rabatt ergeben keine 40 %: die Faktoren werden multipliziert, 0,80 · 0,80 = 0,64, also 36 %.
Glauben, -20 % und danach +20 % führe zum Ausgangspreis zurück. Der Aufschlag bezieht sich auf den bereits reduzierten Preis: 0,80 · 1,20 = 0,96, es bleibt ein um 4 % niedrigerer Preis.
Prozentpunkte mit der prozentualen Änderung verwechseln. Von 12 % auf 15 % sind es 3 Prozentpunkte, was einem Wachstum von 25 % entspricht.
Einen Rabatt durch einen Aufschlag rückgängig machen wollen. Wer nach 25 % Rabatt 96 € gezahlt hat, kommt mit 96 : 0,75 = 128 € auf den alten Preis, nicht mit 96 · 1,25 = 120 €.
Prozentwert und Grundwert vertauschen. Für den Anteil von 84 an 240 rechnet man 84/240 und nicht 240/84, sonst kommt ein Prozentsatz über 100 % heraus.
Das Komma beim Umwandeln verschieben. 18 % sind 0,18 und nicht 1,8; ein zehnmal zu großes Ergebnis stammt fast immer daher.

In den Aufgaben unten bleibt die Methode dieselbe, die Schwierigkeit steigt aber: Es geht von den drei Grundformeln über Rabatt und Mehrwertsteuer mit dem Faktor zurück zum ursprünglichen Preis, dann zur Unterscheidung von Prozentpunkten und prozentualer Änderung und schließlich zu den aufeinanderfolgenden Prozentsätzen, dem Fall, bei dem sich fast alle verrechnen.

Gelöste Aufgaben

1. Berechne 18 % von 450. base

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Ich schreibe den Prozentsatz als Bruch mit dem Nenner 100: 18 % = 18/100 = 0,18.
Ich multipliziere den Grundwert mit diesem Faktor: 450 · 0,18.
450 · 18/100 = 8100/100 = 81.
Probe: 10 % von 450 sind 45, 20 % sind 90. Das Ergebnis 81 liegt dazwischen. Stimmt.

Ergebnis: 81

2. In einer Jahrgangsstufe mit 240 Schülerinnen und Schülern haben 84 einen Bibliotheksausweis. Wie viel Prozent sind das? base

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Ich bilde den Bruch Prozentwert durch Grundwert: 84/240.
Ich kürze mit 12: 84/240 = 7/20.
Ich multipliziere mit 100, um den Prozentsatz zu erhalten: 7/20 · 100 = 35.
Es sind 35 %.
Probe: 35 % von 240 = 240 · 0,35 = 84. Stimmt.

Ergebnis: 35 %

3. 15 % einer Zahl sind 60. Wie groß ist der Grundwert? base

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Ich nenne den Grundwert x und schreibe die Beziehung auf: 0,15 · x = 60.
Hier fehlt der Grundwert, deshalb wird geteilt statt multipliziert: x = 60 : 0,15.
x = 400.
Probe: 15 % von 400 = 400 · 0,15 = 60. Stimmt.

Ergebnis: 400

4. Ein Fahrrad kostet 480 € und wird um 15 % reduziert. Wie hoch ist der neue Preis? base

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Statt den Rabatt auszurechnen und dann abzuziehen, nehme ich gleich den Faktor 1 - 0,15 = 0,85, also den Anteil des Preises, den ich noch zahle.
Ich multipliziere: 480 · 0,85 = 408.
Das Fahrrad kostet jetzt 408 €.
Probe über den langen Weg: der Rabatt beträgt 480 · 0,15 = 72 €, und 480 - 72 = 408. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Ergebnis: 408 €

5. Ein Artikel kostet 180 € netto. Wie hoch ist der Bruttopreis bei 19 % Mehrwertsteuer? intermedio

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Ein Zuschlag von 19 % entspricht dem Faktor 1 + 0,19 = 1,19.
Ich multipliziere: 180 · 1,19 = 214,20.
Der Bruttopreis beträgt 214,20 €.
Probe: die Mehrwertsteuer beträgt 180 · 0,19 = 34,20 €, und 180 + 34,20 = 214,20. Stimmt.

Ergebnis: 214,20 €

6. Nach einem Rabatt von 25 % hat Jonas für einen Kopfhörer 96 € bezahlt. Wie hoch war der ursprüngliche Preis? intermedio

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Achtung: der alte Preis ergibt sich nicht, indem man 25 % auf den gezahlten Betrag aufschlägt, denn der Prozentsatz bezog sich auf den alten und nicht auf den neuen Preis.
Der gezahlte Betrag entspricht dem Faktor 1 - 0,25 = 0,75 des ursprünglichen Preises: 0,75 · x = 96.
Ich mache die Multiplikation rückgängig, indem ich durch den Faktor teile: x = 96 : 0,75 = 128.
Der ursprüngliche Preis lag bei 128 €.
Probe: 128 · 0,75 = 96. Stimmt. Ein Aufschlag von 25 % auf 96 € hätte 120 € ergeben, also ein falsches Ergebnis.

Ergebnis: 128 €

7. Der Anteil der Schülerinnen und Schüler, die mit dem Rad zur Schule kommen, ist von 12 % auf 15 % gestiegen. Wie groß ist der Anstieg in Prozentpunkten und wie groß ist die prozentuale Änderung? avanzato

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Prozentpunkte: das ist einfach die Differenz der beiden Prozentsätze. 15 - 12 = 3 Prozentpunkte.
Prozentuale Änderung: ich setze die Differenz ins Verhältnis zum Ausgangswert. (15 - 12)/12 = 3/12 = 0,25.
0,25 · 100 = 25 %, der Anteil ist also um ein Viertel dessen gewachsen, was er vorher war.
Beide Antworten unterscheiden sich und beide sind richtig, weil sie Verschiedenes messen: ein Anstieg um 3 Prozentpunkte, was einem Wachstum von 25 % entspricht.
Probe: 12 um 25 % erhöht ergibt 12 · 1,25 = 15. Stimmt.

Ergebnis: 3 Prozentpunkte, das entspricht einer Änderung von 25 %

8. Im Winterschlussverkauf wird eine Jacke für 200 € um 20 % reduziert. Im Frühjahr erhöht der Händler den neuen Preis wieder um 20 %. Lena meint, die Jacke koste damit wieder 200 €. Hat sie recht? Wie groß ist die gesamte prozentuale Änderung? avanzato

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Preis im Schlussverkauf: 200 · 0,80 = 160. Die Jacke kostet dann 160 €.
Die Erhöhung im Frühjahr bezieht sich auf 160 € und nicht auf die 200 € vom Anfang: 160 · 1,20 = 192.
Der Endpreis beträgt 192 €, Lena hat also nicht recht: bis zum Ausgangspreis fehlen 8 €.
Gesamte Änderung: (192 - 200)/200 = -8/200 = -0,04, also -4 %.
Dasselbe Ergebnis liefern direkt die Faktoren: 0,80 · 1,20 = 0,96, und ein Faktor von 0,96 bedeutet 4 % weniger als der Ausgangspreis.
Probe: 200 · 0,96 = 192. Stimmt.

Ergebnis: Nein; der Endpreis beträgt 192 €, also 4 % unter dem Ausgangspreis

Häufige Fragen

Wie rechnet man Prozente aus?

Man multipliziert den Grundwert mit dem Prozentsatz und teilt durch 100, was dasselbe ist wie die Multiplikation mit der zugehörigen Dezimalzahl. Für 18 % von 450 rechnet man 450 · 18/100 = 8100/100 = 81 oder direkt 450 · 0,18 = 81. Im Kopf hilft die Merkregel, dass 10 % dem Teilen durch 10 entspricht, 25 % dem Teilen durch 4 und 50 % der Hälfte. Ist das Ergebnis größer als der Grundwert, obwohl der Prozentsatz unter 100 % liegt, steckt ein Kommafehler dahinter.

Wie berechnet man den Prozentsatz?

Man teilt den Prozentwert durch den Grundwert und multipliziert mit 100. Haben 84 von 240 Schülern einen Bibliotheksausweis, rechnet man 84/240 = 0,35 und dann 0,35 · 100 = 35 %. Die Reihenfolge ist entscheidend: oben steht immer der Teil, unten das Ganze. Wer die beiden vertauscht, erhält 240/84, also rund 286 %, und damit einen Wert, der für einen Teil eines Ganzen keinen Sinn ergibt.

Wie berechnet man den Grundwert?

Man teilt den Prozentwert durch den Prozentsatz als Dezimalzahl. Wenn 15 % einer Zahl 60 ergeben, rechnet man 60 : 0,15 = 400. Derselbe Gedanke steckt hinter der Frage nach dem alten Preis: hat Jonas nach 25 % Rabatt 96 € gezahlt, teilt man durch den Faktor 0,75 und erhält 128 €. Ein Aufschlag von 25 % auf die 96 € wäre falsch und ergäbe nur 120 €, weil sich der Prozentsatz auf den alten Preis bezieht.

Was ist der Unterschied zwischen Prozentpunkten und Prozent?

Prozentpunkte sind die reine Differenz zweier Prozentsätze, die prozentuale Änderung setzt diese Differenz ins Verhältnis zum Ausgangswert. Steigt ein Anteil von 12 % auf 15 %, sind das 3 Prozentpunkte, die prozentuale Änderung beträgt aber 3/12 = 25 %. Zu sagen, der Anteil sei um 3 % gestiegen, wäre falsch, denn 3 % von 12 % sind nur 0,36 Prozentpunkte. Genau deshalb sprechen Nachrichten bei Zinsen, Inflation und Umfragen von Prozentpunkten.

Warum ergibt 20 % Rabatt und danach 20 % Aufschlag nicht wieder den Ausgangspreis?

Weil sich die beiden Prozentsätze auf verschiedene Grundwerte beziehen. Eine Jacke für 200 € kostet nach 20 % Rabatt noch 160 €, und der Aufschlag von 20 % wird auf diese 160 € gerechnet, bringt also nur 32 € statt 40 €. Der Endpreis liegt bei 192 €, das sind 4 % unter dem Ausgangspreis. Mit Faktoren sieht man es sofort: 0,80 · 1,20 = 0,96, und dieses Produkt ist immer kleiner als 1. Aus demselben Grund ergeben zwei Rabatte von 20 % keine 40 %, sondern 0,80 · 0,80 = 0,64, also 36 % Rabatt.