Kathetensatz und Höhensatz: 8 Aufgaben mit Lösungen

Kathetensatz und Höhensatz, zusammen mit dem Satz des Pythagoras die Satzgruppe des Pythagoras, beschreiben, was passiert, wenn man im rechtwinkligen Dreieck die Höhe auf der Hypotenuse einzeichnet. In Formeln passen beide in eine Zeile: a² = c · p (Kathetensatz) und h² = p · q (Höhensatz), wobei c die Hypotenuse ist, a eine Kathete, p ihr Hypotenusenabschnitt, q der andere Abschnitt und h die Höhe.

In Worten: jede Kathete ist das geometrische Mittel aus der Hypotenuse und ihrem eigenen Hypotenusenabschnitt, und die Höhe ist das geometrische Mittel aus den beiden Abschnitten. Beide Sätze heißen auch Sätze des Euklid. Gebraucht werden sie in jeder Aufgabe, in der die Höhe auf der Hypotenuse oder ein Hypotenusenabschnitt auftaucht — genau dort, wo der Satz des Pythagoras allein nicht weiterkommt.

Die fünf Größen in der Figur

Vor den Formeln steht das Lesen der Zeichnung. Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C trifft die Höhe von C aus die Hypotenuse AB im Punkt, der sie in zwei Abschnitte teilt. So entstehen fünf Größen.

Zeichen	Was es ist	Wo es in der Zeichnung liegt
c	Hypotenuse	die Seite gegenüber dem rechten Winkel, die längste
a, b	Katheten	die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden
h	Höhe auf der Hypotenuse	vom Scheitel des rechten Winkels, senkrecht zur Hypotenuse
p	Hypotenusenabschnitt von a	das Stück Hypotenuse auf der Seite von a
q	Hypotenusenabschnitt von b	das Stück Hypotenuse auf der Seite von b

Zwei Beziehungen gelten immer und sind die schnellste Kontrolle jeder Aufgabe: p + q = c (die Abschnitte ergeben zusammen die Hypotenuse) und h ≤ c : 2 (die Höhe wird nie größer als die halbe Hypotenuse).

Die Satzgruppe des Pythagoras in einer Tabelle

Satz	Formel	Aussage
Kathetensatz (1. Satz des Euklid)	a² = c · p und b² = c · q	jede Kathete ist das geometrische Mittel aus Hypotenuse und ihrem Abschnitt
Höhensatz (2. Satz des Euklid)	h² = p · q	die Höhe ist das geometrische Mittel aus den beiden Abschnitten
Flächenbeziehung	a · b = c · h	der Flächeninhalt lässt sich aus den Katheten oder aus c und h berechnen
Summe der Abschnitte	p + q = c	die Abschnitte ergeben die ganze Hypotenuse
Satz des Pythagoras	a² + b² = c²	folgt aus den beiden Gleichungen des Kathetensatzes

Die letzte Zeile ist keine eigenständige Formel: addiert man a² = c · p und b² = c · q, erhält man a² + b² = c · (p + q) = c · c = c². Der Satz des Pythagoras steckt also im Kathetensatz — deshalb steht dieses Thema im Unterricht direkt hinter ihm.

Die Flächenbeziehung ist dagegen kein Satz des Euklid, wird aber mit den anderen gelernt: derselbe Flächeninhalt lässt sich als (a · b) : 2 schreiben, mit den Katheten als Grundseite und Höhe, oder als (c · h) : 2, mit der Hypotenuse und ihrer Höhe. Sie ist die Abkürzung für alle Aufgaben, in denen aus zwei Katheten die Höhe gesucht ist.

Die Form als Verhältnisgleichung

Beide Sätze lassen sich auch als Verhältnisgleichung schreiben, und dann erklärt sich der Name geometrisches Mittel von selbst:

c : a = a : p (Kathetensatz) und p : h = h : q (Höhensatz)

In beiden steht dieselbe Größe an den zwei mittleren Stellen. Da bei jeder Verhältnisgleichung das Produkt der Innenglieder gleich dem Produkt der Außenglieder ist, folgt aus c : a = a : p sofort a² = c · p.

Welchen Satz nehmen? Die Entscheidungstabelle

Hier gehen mehr Punkte verloren als beim Rechnen. Die Regel lautet: schauen, welche Größen die Aufgabe nennt.

Gegeben ist	Was hilft	Formel
Hypotenuse und ein Abschnitt	Kathetensatz	a = √(c · p)
eine Kathete und ihr Abschnitt	Kathetensatz, umgestellt	c = a² : p
eine Kathete und die Hypotenuse	Kathetensatz, umgestellt	p = a² : c
beide Abschnitte	Höhensatz	h = √(p · q)
beide Katheten	Pythagoras + Flächenbeziehung	c = √(a² + b²), dann h = (a · b) : c
eine Kathete und die Höhe	Pythagoras im Teildreieck	p = √(a² - h²)
Hypotenuse und Höhe	Summe und Produkt der Abschnitte	x² - c·x + h² = 0

Die letzten beiden Zeilen sind die Stolperstellen: kein Satz verbindet eine Kathete unmittelbar mit der Höhe. Steht genau dieses Paar in der Aufgabe, führt der Weg über den Satz des Pythagoras in einem der beiden Teildreiecke, deren Katheten h und ein Abschnitt sind und deren Hypotenuse eine Kathete des großen Dreiecks ist.

Ein komplett durchgerechnetes Dreieck: 15-20-25

Es lohnt sich, ein Dreieck im Kopf zu haben, in dem alle Werte ganzzahlig sind: ein falsches Ergebnis fällt dann sofort auf.

Größe	Wert	Woher sie kommt
Katheten	a = 15, b = 20	gegeben
Hypotenuse	c = 25	Pythagoras: √(225 + 400) = √625
Abschnitt von a	p = 9	Kathetensatz: 225 : 25
Abschnitt von b	q = 16	Kathetensatz: 400 : 25
Höhe	h = 12	Höhensatz: √(9 · 16) = √144
Flächeninhalt	150	(15 · 20) : 2 und ebenso (25 · 12) : 2

Alle Proben gehen auf: 9 + 16 = 25 und 15 · 20 = 25 · 12 = 300. Zwei weitere bequeme, durchweg ganzzahlige Dreiecke sind 30-40-50 (p = 18, q = 32, h = 24) und 45-60-75 (p = 27, q = 48, h = 36). Alle drei sind Vielfache des Tripels 3-4-5, und genau deshalb werden die Abschnitte ganzzahlig.

Warum die Sätze gelten: ähnliche Dreiecke

Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Jedes hat einen rechten Winkel und teilt einen spitzen Winkel mit dem großen Dreieck, also sind alle drei Dreiecke ähnlich: gleiche Winkel, Seiten im gleichen Verhältnis.

Dreieck	Katheten	Hypotenuse
das große	a, b	c
das kleine links	h, p	a
das kleine rechts	h, q	b

Aus dieser Ähnlichkeit folgen beide Sätze. Vergleicht man das große Dreieck mit dem linken, ist das Verhältnis von Hypotenuse zu anliegender Kathete gleich: c : a = a : p — der Kathetensatz. Vergleicht man die beiden kleinen Dreiecke, ergibt das Verhältnis ihrer Katheten p : h = h : q — der Höhensatz. Es sind nicht zwei getrennt zu lernende Formeln, sondern eine Ähnlichkeit in zwei Leserichtungen.

Der Grenzfall: wie groß kann die Höhe werden?

Bei fester Hypotenuse kann die Höhe nicht beliebig wachsen. Aus p + q = c und p · q = h² folgt, dass p und q die Lösungen von x² - c·x + h² = 0 sind, und die existieren nur, wenn die Diskriminante nicht negativ ist:

c² - 4h² ≥ 0, also h ≤ c : 2

Das Maximum liegt bei D = 0, also p = q = c : 2: das ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck, das einzige, dessen Höhe genau die halbe Hypotenuse ist. Bei einer Hypotenuse von 10 cm kann die Höhe also 5 cm nicht überschreiten, und die Katheten dieses Grenzfalls messen √(10 · 5) = √50 ≈ 7,07 cm.

Diese Prüfung lohnt sich, bevor man zu rechnen beginnt: nennt eine Aufgabe die Hypotenuse 10 cm und die Höhe 6 cm, existiert das Dreieck nicht, und das zu begründen ist die Lösung. Aufgabe 8 unten ist genau dieser Fall.

Die häufigsten Fehler

• Die Kathete dem falschen Abschnitt zuordnen. a gehört zu p, b gehört zu q: jede Kathete gehört zu dem Abschnitt, der an ihrem eigenen Eckpunkt beginnt. a² = c · q zu schreiben ist Fehler Nummer eins und liefert ein plausibles, aber falsches Ergebnis.
• Den Höhensatz mit Katheten benutzen. h² = p · q verbindet die Höhe mit den Abschnitten, nicht mit den Katheten. h² = a · b ist sinnlos; die richtige Beziehung zu den Katheten ist a · b = c · h.
• Die Wurzel vergessen. Aus a² = 225 folgt a = 15, nicht 225. Das kostet in Klassenarbeiten die meisten Punkte.
• Für den zweiten Abschnitt addieren statt subtrahieren. Bei c = 25 und p = 9 ist q = 25 - 9 = 16, nicht 25 + 9.
• Die Sätze auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck anwenden oder auf eine Höhe, die auf einer Kathete statt auf der Hypotenuse steht. In beiden Fällen sind die Formeln einfach falsch.
• Die Probe p + q = c weglassen. Sie ist die schnellste Kontrolle überhaupt: ergeben die Abschnitte nicht die Hypotenuse, liegt der Fehler weiter oben.
• Zu früh runden. Mit Werten wie 5,4 und 9,6 bleiben die Ergebnisse bis zum Schluss exakt: gerundet wird erst am Ende, und nur wenn die Aufgabe es verlangt.

In den acht Aufgaben unten steigt die Schwierigkeit wirklich, und keine löst sich wie die vorige. Die ersten drei wenden beide Sätze vorwärts und rückwärts an; die vierte und fünfte brauchen einen Schritt von außen (Pythagoras im Teildreieck, dann die Flächenbeziehung); die sechste führt auf eine quadratische Gleichung aus Summe und Produkt der Abschnitte; die siebte beginnt mit einem Verhältnis statt mit Längen; die achte ist ein Dreieck, das es nicht gibt, erkennbar an der negativen Diskriminante.