Mathematik

Lineare Gleichungssysteme: 8 Aufgaben mit Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem löst man mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren. Tabelle der Verfahren, die drei Fälle und 8 Aufgaben mit Lösungen.

Die drei Lösungsverfahren

Alle drei Verfahren führen zum selben Zahlenpaar. Unterschiedlich ist nur der Rechenaufwand, deshalb lohnt sich ein Blick auf die Koeffizienten, bevor man loslegt.

Verfahren	Wann es sich lohnt	Mini-Beispiel
Einsetzungsverfahren	Eine Gleichung ist nach einer Variablen aufgelöst oder ein Koeffizient ist 1	Aus y = 3x - 4 und 2x + y = 11 wird 2x + (3x - 4) = 11
Gleichsetzungsverfahren	Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst	Aus y = 3x - 7 und y = 2x - 5 folgt 3x - 7 = 2x - 5
Additionsverfahren	Die Koeffizienten einer Variablen sind entgegengesetzt oder lassen sich leicht dazu machen	2x + 3y = 17 plus 5x - 3y = 11 ergibt 7x = 28

Vor jedem Verfahren stehen beide Gleichungen in der Normalform ax + by = c: Klammern auflösen und bei Brüchen alle Terme mit dem Hauptnenner multiplizieren, genau wie bei den linearen Gleichungen.

Die drei möglichen Fälle

Wie viele Lösungen es gibt, hängt allein vom Verhältnis der Koeffizienten der beiden Gleichungen ax + by = c und a’x + b’y = c’ ab.

Fall	Bedingung an die Koeffizienten	Grafische Deutung	Anzahl der Lösungen
Eindeutig lösbar	a/a’ ≠ b/b’	Sich schneidende Geraden, ein gemeinsamer Punkt	Genau eine, das Paar (x; y)
Unlösbar	a/a’ = b/b’ ≠ c/c’	Parallele, verschiedene Geraden	Keine, leere Lösungsmenge
Unendlich viele Lösungen	a/a’ = b/b’ = c/c’	Identische Geraden, dieselbe Gerade	Unendlich viele, ∞ Paare

In der Rechnung erkennt man die beiden Grenzfälle an dem, was am Schluss übrig bleibt: eine falsche Aussage wie 0 = 4 bedeutet keine Lösung, eine wahre Aussage wie 0 = 0 bedeutet unendlich viele Lösungen.

Die häufigsten Fehler

Nur in eine Gleichung einsetzen und die andere vergessen. Der umgestellte Term muss in die ANDERE Gleichung: setzt man ihn in dieselbe Gleichung ein, aus der er stammt, kommt 0 = 0 heraus und man ist keinen Schritt weiter.
Vorzeichenfehler beim Subtrahieren einer Gleichung. Bei (3x + 15y) - (3x + 2y) = 81 - 16 wechselt jeder Term der abgezogenen Gleichung das Vorzeichen, auch die rechte Seite.
Nach einer Variablen aufhören. Die Lösung eines Systems ist immer ein Zahlenpaar: hat man x, muss man damit in eine Gleichung zurückgehen und y berechnen.
Beim Vorbereiten nicht ALLE Terme multiplizieren. Aus x + 5y = 27 wird beim Multiplizieren mit 3 die Gleichung 3x + 15y = 81, nicht 3x + 15y = 27.
Bei 0 = 0 auf unlösbar schließen. Diese Aussage steht für unendlich viele Lösungen; unlösbar ist das System nur bei einer falschen Aussage wie 0 = 4.
Die Probe nur in einer Gleichung machen. Ein falsches Paar kann eine der beiden Gleichungen zufällig erfüllen, deshalb wird immer in beiden geprüft.

Wenn die Nenner beim Umformen auf Normalform Schwierigkeiten machen, hilft eine Wiederholung der Bruchrechnung. Und sobald in einer der Gleichungen eine Variable im Quadrat steht, ist das System nicht mehr linear: das Einsetzen führt dann auf eine Gleichung, die mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen behandelt wird.

In den Aufgaben unten steigt die Schwierigkeit Schritt für Schritt: Es geht los mit einem direkten Einsetzen und einer Addition entgegengesetzter Koeffizienten, weiter über Klammern und das Gleichsetzungsverfahren, ein System mit Vorbereitung, Brüche und eine Lösung mit Komma, dann die Einteilung in die drei Fälle und zum Schluss eine Sachaufgabe, die erst in ein Gleichungssystem übersetzt werden muss.

Gelöste Aufgaben

1. Löse mit dem Einsetzungsverfahren: y = 3x - 4 und 2x + y = 11 base

Lösung anzeigen

In der ersten Gleichung ist y bereits allein, ich setze also 3x - 4 für y in die zweite Gleichung ein: 2x + (3x - 4) = 11.
Ich fasse zusammen: 5x - 4 = 11, also 5x = 15.
x = 3.
Ich gehe zurück zu der Gleichung mit dem isolierten y: y = 3 · 3 - 4 = 5.
Probe in BEIDEN Ausgangsgleichungen: y = 3x - 4 ergibt 5 = 9 - 4, stimmt; 2 · 3 + 5 = 6 + 5 = 11, stimmt.

Ergebnis: (3; 5)

2. Löse mit dem Additionsverfahren: 2x + 3y = 17 und 5x - 3y = 11 base

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Ich schaue mir die Koeffizienten von y an: +3 und -3, sie sind schon entgegengesetzt. Ich kann die beiden Gleichungen direkt addieren, ohne etwas vorzubereiten.
Addition: (2x + 5x) + (3y - 3y) = 17 + 11, also 7x = 28.
x = 4.
Ich setze x = 4 in die erste Gleichung ein: 2 · 4 + 3y = 17, also 3y = 9 und y = 3.
Probe in beiden Ausgangsgleichungen: 2 · 4 + 3 · 3 = 8 + 9 = 17, stimmt; 5 · 4 - 3 · 3 = 20 - 9 = 11, stimmt.

Ergebnis: (4; 3)

3. Bringe zuerst auf Normalform und löse dann mit dem Gleichsetzungsverfahren: 3(x - 2) = y + 1 und 2(y + x) - y = 4x - 5 intermedio

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Keine der beiden Gleichungen ist nach y aufgelöst, also forme ich zuerst um.
Erste Gleichung: Klammer auflösen, 3x - 6 = y + 1, nach y umstellen: y = 3x - 7.
Zweite Gleichung: 2y + 2x - y = 4x - 5, links zusammenfassen: y + 2x = 4x - 5, also y = 2x - 5.
Beide Gleichungen sind jetzt nach y aufgelöst, ich setze die rechten Seiten gleich: 3x - 7 = 2x - 5.
3x - 2x = -5 + 7, also x = 2.
Ich setze x = 2 in y = 3x - 7 ein: y = 6 - 7 = -1.
Probe in den URSPRÜNGLICHEN Gleichungen mit den Klammern: 3(2 - 2) = 0 und y + 1 = -1 + 1 = 0, stimmt; 2(-1 + 2) - (-1) = 2 + 1 = 3 und 4 · 2 - 5 = 3, stimmt.

Ergebnis: (2; -1)

4. Löse: 3x + 2y = 16 und x + 5y = 27 intermedio

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Kein Koeffizientenpaar ist gleich oder entgegengesetzt, ich muss das System für das Additionsverfahren erst vorbereiten.
Ich multipliziere ALLE Terme der zweiten Gleichung mit 3, auch die rechte Seite: 3x + 15y = 81.
Jetzt steht in beiden Gleichungen 3x. Ich subtrahiere die erste Gleichung von der neuen zweiten: (3x - 3x) + (15y - 2y) = 81 - 16, also 13y = 65.
y = 5.
Ich setze y = 5 in die ursprüngliche Gleichung x + 5y = 27 ein: x + 25 = 27, also x = 2.
Probe in beiden Ausgangsgleichungen: 3 · 2 + 2 · 5 = 6 + 10 = 16, stimmt; 2 + 5 · 5 = 2 + 25 = 27, stimmt.

Ergebnis: (2; 5)

5. Löse das System mit Brüchen: x/3 + y/4 = 3 und x - y = 2 intermedio

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Zuerst beseitige ich die Nenner der ersten Gleichung. Der Hauptnenner von 3 und 4 ist 12.
Ich multipliziere alle Terme der ersten Gleichung mit 12, auch die 3 auf der rechten Seite: 4x + 3y = 36.
Die zweite Gleichung lässt sich sofort umstellen: x = y + 2. Ich verwende das Einsetzungsverfahren.
Einsetzen in die nennerfreie Gleichung: 4(y + 2) + 3y = 36, also 4y + 8 + 3y = 36 und 7y = 28.
y = 4, also x = 4 + 2 = 6.
Probe in beiden Ausgangsgleichungen mit den Brüchen: 6/3 + 4/4 = 2 + 1 = 3, stimmt; 6 - 4 = 2, stimmt.

Ergebnis: (6; 4)

6. Löse: 4x - y = 8 und 2x + 3y = 11 intermedio

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In keiner Gleichung steht eine Variable allein, aber in der ersten hat y den Koeffizienten -1, sie lässt sich also mühelos umstellen: y = 4x - 8.
Ich setze in die zweite Gleichung ein: 2x + 3(4x - 8) = 11, also 2x + 12x - 24 = 11.
14x = 35, also x = 35/14 = 5/2 = 2,5.
Ich setze zurück ein: y = 4 · 2,5 - 8 = 10 - 8 = 2.
Eine nicht ganzzahlige Lösung ist kein Fehler: ein Gleichungssystem darf durchaus ein Lösungspaar mit Komma haben.
Probe in beiden Ausgangsgleichungen: 4 · 2,5 - 2 = 10 - 2 = 8, stimmt; 2 · 2,5 + 3 · 2 = 5 + 6 = 11, stimmt.

Ergebnis: (2,5; 2)

7. Gib für jedes System an, ob es genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat, und begründe. a) 2x - 4y = 6 und x - 2y = 3; b) 5x + 2y = 8 und 10x + 4y = 20; c) 3x + y = 10 und x - y = 2. avanzato

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a) Ich vergleiche die Koeffizienten: 2/1 = 2, -4/-2 = 2 und auch 6/3 = 2. Die erste Gleichung ist genau die zweite mal 2, es ist zweimal dieselbe Gerade. Die Geraden sind identisch, das System hat unendlich viele Lösungen.
b) Koeffizienten: 10/5 = 2 und 4/2 = 2, aber 20/8 = 2,5. Die Koeffizienten der Variablen sind proportional, die rechten Seiten nicht: parallele, verschiedene Geraden. Das System hat keine Lösung. Rechnerisch: die erste Gleichung mal 2 ergibt 10x + 4y = 16, im Widerspruch zu 10x + 4y = 20.
c) 3/1 = 3, aber 1/-1 = -1: die Koeffizienten sind nicht proportional, die Geraden schneiden sich. Genau eine Lösung. Addition der beiden Gleichungen: 4x = 12, also x = 3, und aus x - y = 2 folgt y = 1.
Probe zu c) in beiden Ausgangsgleichungen: 3 · 3 + 1 = 10, stimmt; 3 - 1 = 2, stimmt.

Ergebnis: a) unendlich viele Lösungen; b) keine Lösung; c) genau eine Lösung, (3; 1)

8. Im Schwimmbad kosten 4 Erwachsenenkarten und 3 Kinderkarten zusammen 31,00 €. Für 2 Erwachsenenkarten und 5 Kinderkarten zahlt man 26,00 €. Wie teuer ist jede Karte? Stelle zuerst das Gleichungssystem auf. avanzato

Lösung anzeigen

Ich wähle die Variablen: e sei der Preis einer Erwachsenenkarte in Euro, k der Preis einer Kinderkarte.
Erste Gleichung, der erste Kauf: 4e + 3k = 31.
Zweite Gleichung, der zweite Kauf: 2e + 5k = 26.
Ich bereite das Additionsverfahren vor und multipliziere alle Terme der zweiten Gleichung mit 2, auch die rechte Seite: 4e + 10k = 52.
Ich subtrahiere die erste Gleichung davon: (4e - 4e) + (10k - 3k) = 52 - 31, also 7k = 21 und k = 3.
Einsetzen in 2e + 5k = 26: 2e + 15 = 26, also 2e = 11 und e = 5,50.
Probe in beiden Ausgangsgleichungen: 4 · 5,50 + 3 · 3,00 = 22,00 + 9,00 = 31,00, stimmt; 2 · 5,50 + 5 · 3,00 = 11,00 + 15,00 = 26,00, stimmt.
Plausibilitätskontrolle: zwei positive Preise, die Kinderkarte ist billiger als die Erwachsenenkarte. Das Ergebnis ist sinnvoll.

Ergebnis: Erwachsenenkarte 5,50 €, Kinderkarte 3,00 €

Häufige Fragen

Wie löst man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen?

Es gibt drei Standardverfahren. Beim Einsetzungsverfahren stellt man eine Gleichung nach einer Variablen um und setzt diesen Term in die andere Gleichung ein, die dann nur noch eine Variable enthält. Beim Gleichsetzungsverfahren löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setzt die rechten Seiten gleich. Beim Additionsverfahren macht man die Koeffizienten einer Variablen entgegengesetzt und addiert die Gleichungen, sodass diese Variable wegfällt. Am Ende setzt man das gefundene Zahlenpaar zur Probe in beide Ausgangsgleichungen ein.

Wann nimmt man Einsetzungsverfahren und wann Additionsverfahren?

Das Einsetzungsverfahren lohnt sich, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder eine Variable den Koeffizienten 1 oder -1 hat, etwa bei y = 3x - 4 oder x - y = 2. Das Additionsverfahren ist schneller, wenn die Koeffizienten einer Variablen schon entgegengesetzt oder gleich sind, wie bei 2x + 3y = 17 und 5x - 3y = 11. Das Gleichsetzungsverfahren passt, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind. Alle drei liefern dasselbe Ergebnis, nur der Rechenaufwand unterscheidet sich.

Wann hat ein Gleichungssystem keine Lösung?

Wenn die beiden Geraden parallel und verschieden sind, also die Koeffizienten der Variablen proportional sind, die rechten Seiten aber nicht. Beim Rechnen entsteht dann eine falsche Aussage wie 0 = 4. Bei 5x + 2y = 8 und 10x + 4y = 20 ergibt die erste Gleichung mal 2 gerade 10x + 4y = 16, was der zweiten widerspricht. Die Lösungsmenge ist leer, das System heißt unlösbar.

Was bedeutet 0 = 0 beim Lösen eines Gleichungssystems?

Es bedeutet, dass die beiden Gleichungen gleichwertig sind und das System unendlich viele Lösungen hat, keinesfalls dass es unlösbar ist. Bei 2x - 4y = 6 und x - 2y = 3 ist die erste Gleichung nur die zweite mal 2, die Geraden sind identisch. Die richtige Antwort lautet also nicht, dass es keine Lösung gibt, sondern dass alle Zahlenpaare der Geraden x - 2y = 3 Lösungen sind.

Wie löst man ein Gleichungssystem grafisch?

Man bringt jede Gleichung in die Form y = mx + b, zeichnet beide Geraden in dasselbe Koordinatensystem und liest den Schnittpunkt ab. Schneiden sich die Geraden, sind seine Koordinaten die eindeutige Lösung. Sind sie parallel und verschieden, gibt es keinen gemeinsamen Punkt und keine Lösung. Fallen sie zusammen, gibt es unendlich viele Lösungen. Für Lösungen mit Komma wie (2,5; 2) ist das Ablesen allerdings ungenau, hier rechnet man besser nach und macht die Probe.