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Systèmes d'équations : 8 exercices corrigés
Un système de deux équations à deux inconnues se résout par substitution ou combinaison linéaire. Tableau des méthodes, les trois cas et 8 exercices corrigés.
Recommandé pour: 3e · Seconde
Un système de deux équations à deux inconnues est un couple d’équations qui doivent être vraies en même temps, comme 2x + y = 7 et x - y = 2. Le résoudre, c’est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations à la fois. Chaque équation représentant une droite du plan, la solution est le point d’intersection de ces deux droites.
Les trois méthodes de résolution
Les trois méthodes donnent toujours le même couple. Seule la quantité de calculs change, d’où l’intérêt de regarder d’abord les coefficients.
| Méthode | Quand la choisir | Mini-exemple |
|---|---|---|
| Substitution | Une équation a déjà une inconnue isolée ou un coefficient égal à 1 | Dans x = 2y - 1 et 3x + y = 11, je remplace x par 2y - 1 |
| Combinaison linéaire | Les coefficients d’une inconnue sont opposés, ou le deviennent après multiplication | Dans 5x + 3y = 21 et 4x - 3y = 6, j’additionne et j’obtiens 9x = 27 |
| Résolution graphique | On veut visualiser la situation ou déterminer tout de suite la nature du système | Je trace y = -2x + 7 et y = x - 2, puis je lis le point d’intersection |
Avant toute méthode, il faut écrire les deux équations sous la forme réduite ax + by = c : développer les parenthèses et, s’il y a des fractions, multiplier tous les termes par le dénominateur commun, exactement comme pour les équations du premier degré.
Les trois cas possibles
Le nombre de solutions ne dépend que des coefficients des deux équations ax + by = c et a’x + b’y = c’. Le déterminant ab’ - ba’ résume la situation.
| Nature du système | Condition sur les coefficients | Interprétation graphique | Nombre de solutions |
|---|---|---|---|
| Système déterminé | a/a’ ≠ b/b’, déterminant non nul | Droites sécantes, un seul point commun | Une, le couple (x ; y) |
| Système incompatible | a/a’ = b/b’ ≠ c/c’, déterminant nul | Droites parallèles distinctes | Aucune, ensemble vide |
| Système indéterminé | a/a’ = b/b’ = c/c’, déterminant nul | Droites confondues, une seule droite | Une infinité, ∞ couples |
En pratique, on reconnaît les deux cas limites à ce qui reste à la fin des calculs : une égalité fausse comme 0 = 5 signale un système sans solution, tandis que 0 = 0 annonce une infinité de solutions.
Les erreurs les plus fréquentes
- Substituer dans une seule équation en oubliant l’autre. Une fois l’inconnue isolée, l’expression doit être reportée dans l’AUTRE équation : la remettre dans celle dont elle vient donne 0 = 0 et ne fait rien avancer.
- Se tromper de signe en soustrayant une équation de l’autre. Dans (3x + 6y) - (3x + 4y) = 36 - 26, tous les termes soustraits changent de signe, second membre compris.
- S’arrêter après avoir trouvé une seule inconnue. La réponse d’un système est toujours un couple : une fois x connu, il faut revenir à une équation pour calculer y.
- Ne pas multiplier TOUS les termes en préparant l’élimination. En multipliant x + 2y = 12 par 3, on obtient 3x + 6y = 36, et non 3x + 6y = 12.
- Conclure « impossible » en arrivant à 0 = 0. Ce résultat annonce une infinité de solutions, donc un système indéterminé ; le cas sans solution correspond à une égalité fausse comme 0 = 5.
- Ne vérifier que dans une équation. Un couple erroné peut satisfaire l’une des deux par hasard : la vérification doit se faire dans les deux.
Si les dénominateurs vous ralentissent au moment de réduire le système, un détour par les opérations sur les fractions est vite rentabilisé. Et dès qu’une des équations contient une inconnue au carré, le système n’est plus linéaire : la substitution mène alors à une équation qui se traite avec le discriminant des équations du second degré.
Dans les exercices ci-dessous, la difficulté augmente vraiment : on part d’une substitution immédiate et d’une addition de coefficients opposés, on passe par un système à préparer, par des coefficients décimaux, par une solution à virgule et par la nature des trois cas, et on termine par un système à développer puis par un problème de boulangerie à traduire avant de le résoudre.
Exercices corrigés
1. Résoudre par substitution : x = 2y - 1 et 3x + y = 11 base
Afficher la solution
- La première équation me donne déjà x isolé, je remplace donc x par 2y - 1 dans la seconde équation : 3(2y - 1) + y = 11.
- Je développe : 6y - 3 + y = 11, donc 7y = 14.
- y = 2.
- Je reviens à l'équation où x était isolé : x = 2 · 2 - 1 = 3.
- Vérification dans les DEUX équations de départ : x = 2y - 1 donne 3 = 4 - 1, c'est juste ; 3 · 3 + 2 = 9 + 2 = 11, c'est juste.
Réponse: (3 ; 2)
2. Résoudre par combinaison linéaire : 5x + 3y = 21 et 4x - 3y = 6 base
Afficher la solution
- Je regarde les coefficients de y : ils valent +3 et -3, ils sont déjà opposés. J'additionne donc les deux équations membre à membre, sans rien préparer.
- En additionnant : (5x + 4x) + (3y - 3y) = 21 + 6, c'est-à-dire 9x = 27.
- x = 3.
- Je remplace x = 3 dans la première équation : 5 · 3 + 3y = 21, donc 3y = 6 et y = 2.
- Vérification dans les deux équations de départ : 5 · 3 + 3 · 2 = 15 + 6 = 21, c'est juste ; 4 · 3 - 3 · 2 = 12 - 6 = 6, c'est juste.
Réponse: (3 ; 2)
3. Résoudre : 3x + 4y = 26 et x + 2y = 12 intermedio
Afficher la solution
- Ici aucun couple de coefficients n'est opposé ni égal : il faut préparer le système avant de combiner les deux équations.
- Je multiplie TOUS les termes de la seconde équation par 3, y compris le second membre : 3x + 6y = 36.
- Les deux équations ont maintenant 3x. Je soustrais la première de cette nouvelle équation : (3x - 3x) + (6y - 4y) = 36 - 26, donc 2y = 10 et y = 5.
- Je remplace y = 5 dans l'équation d'origine x + 2y = 12 : x + 10 = 12, donc x = 2.
- Vérification dans les deux équations de départ : 3 · 2 + 4 · 5 = 6 + 20 = 26, c'est juste ; 2 + 2 · 5 = 2 + 10 = 12, c'est juste.
Réponse: (2 ; 5)
4. Résoudre le système à coefficients décimaux : 0,5x + 0,2y = 2,9 et x - y = 3 intermedio
Afficher la solution
- Je commence par chasser les décimaux de la première équation en multipliant tous ses termes par 10, second membre compris : 5x + 2y = 29.
- La seconde équation donne x tout de suite isolé : x = y + 3. J'utilise la substitution.
- Je remplace dans l'équation sans décimaux : 5(y + 3) + 2y = 29, c'est-à-dire 5y + 15 + 2y = 29 et 7y = 14.
- y = 2, donc x = 2 + 3 = 5.
- Vérification dans les deux équations de départ, avec les décimaux : 0,5 · 5 + 0,2 · 2 = 2,5 + 0,4 = 2,9, c'est juste ; 5 - 2 = 3, c'est juste.
Réponse: (5 ; 2)
5. Résoudre : x - y = 3 et x + 3y = 5 intermedio
Afficher la solution
- J'isole x dans la première équation, c'est la plus simple : x = y + 3.
- Je remplace dans la seconde : (y + 3) + 3y = 5, donc 4y + 3 = 5 et 4y = 2.
- y = 2/4 = 1/2 = 0,5.
- Je reviens à x = y + 3 : x = 0,5 + 3 = 3,5.
- Une solution non entière n'est pas le signe d'une erreur : un système peut très bien avoir un couple solution fractionnaire.
- Vérification dans les deux équations de départ : 3,5 - 0,5 = 3, c'est juste ; 3,5 + 3 · 0,5 = 3,5 + 1,5 = 5, c'est juste.
Réponse: (3,5 ; 0,5)
6. Pour chaque système, dire s'il admet un couple solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions, en justifiant. a) 3x - y = 2 et 6x - 2y = 4 ; b) 2x + 5y = 7 et 4x + 10y = 9 ; c) x + 4y = 9 et 2x - y = 0. avanzato
Afficher la solution
- a) Je calcule le déterminant : 3 · (-2) - (-1) · 6 = -6 + 6 = 0. Il est nul, donc pas de solution unique. Je compare alors les équations : la seconde est exactement la première multipliée par 2, second membre compris. Les deux droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.
- b) Déterminant : 2 · 10 - 5 · 4 = 20 - 20 = 0. Là encore il est nul. Mais en multipliant la première équation par 2 j'obtiens 4x + 10y = 14, incompatible avec 4x + 10y = 9. Les droites sont parallèles distinctes, le système n'a aucune solution.
- c) Déterminant : 1 · (-1) - 4 · 2 = -1 - 8 = -9, différent de zéro. Le système admet un couple solution unique. Je le calcule par substitution : la seconde équation donne y = 2x, donc x + 4 · 2x = 9, c'est-à-dire 9x = 9 et x = 1, puis y = 2.
- Vérification du cas c) dans les deux équations de départ : 1 + 4 · 2 = 9, c'est juste ; 2 · 1 - 2 = 0, c'est juste.
Réponse: a) une infinité de solutions ; b) aucune solution ; c) solution unique, (1 ; 2)
7. Mettre sous forme réduite puis résoudre : 5(x - y) + 4y = 3x + 8 et 3(x - 1) = 2(y + 2) avanzato
Afficher la solution
- Aucune des deux équations n'est sous la forme ax + by = c, il faut donc les réduire avant de choisir une méthode.
- Première équation : je développe, 5x - 5y + 4y = 3x + 8, c'est-à-dire 5x - y = 3x + 8. Je regroupe les inconnues à gauche : 2x - y = 8.
- Seconde équation : 3x - 3 = 2y + 4, donc 3x - 2y = 7.
- Le système réduit est 2x - y = 8 et 3x - 2y = 7. La première donne y = 2x - 8, je substitue : 3x - 2(2x - 8) = 7. Attention au signe devant la parenthèse : 3x - 4x + 16 = 7.
- -x = -9, donc x = 9, puis y = 2 · 9 - 8 = 10.
- Vérification dans les deux équations D'ORIGINE, avec les parenthèses : 5(9 - 10) + 4 · 10 = -5 + 40 = 35 et 3 · 9 + 8 = 35, c'est juste ; 3(9 - 1) = 24 et 2(10 + 2) = 24, c'est juste.
Réponse: (9 ; 10)
8. Dans une boulangerie, 3 croissants et 2 pains au chocolat coûtent 7,10 €. Avec 5 croissants et 4 pains au chocolat, on paie 12,50 €. Quel est le prix de chaque viennoiserie ? Poser le système avant de résoudre. avanzato
Afficher la solution
- Je choisis les inconnues : c est le prix d'un croissant en euros, p celui d'un pain au chocolat.
- Première équation, le premier achat : 3c + 2p = 7,10.
- Seconde équation, le second achat : 5c + 4p = 12,50.
- Je prépare la combinaison linéaire : je multiplie tous les termes de la première équation par 2 pour avoir 4p dans les deux, second membre compris : 6c + 4p = 14,20.
- Je soustrais la seconde équation de celle-ci : (6c - 5c) + (4p - 4p) = 14,20 - 12,50, donc c = 1,70.
- Je remplace dans 3c + 2p = 7,10 : 5,10 + 2p = 7,10, donc 2p = 2,00 et p = 1,00.
- Vérification dans les deux équations de départ : 3 · 1,70 + 2 · 1,00 = 5,10 + 2,00 = 7,10, c'est juste ; 5 · 1,70 + 4 · 1,00 = 8,50 + 4,00 = 12,50, c'est juste.
- Contrôle de bon sens : deux prix positifs de l'ordre de l'euro, le résultat est plausible.
Réponse: Un croissant coûte 1,70 € et un pain au chocolat 1,00 €
Questions fréquentes
Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?
Trois méthodes existent. Par substitution, on isole une inconnue dans une équation et on reporte cette expression dans l'autre, qui ne contient plus qu'une seule inconnue. Par combinaison linéaire, on multiplie une ou les deux équations pour rendre opposés les coefficients d'une inconnue, puis on additionne les équations membre à membre afin de l'éliminer. Graphiquement, on trace les deux droites et on lit les coordonnées du point d'intersection. Dans tous les cas, on termine en remplaçant le couple trouvé dans les deux équations de départ.
Quelle est la différence entre substitution et combinaison linéaire ?
La substitution est la plus rapide quand une équation a déjà une inconnue isolée ou un coefficient égal à 1, comme x = 2y - 1 ou x - y = 3 : il suffit de reporter l'expression. La combinaison linéaire est préférable quand les coefficients d'une inconnue sont déjà opposés ou égaux, comme dans 5x + 3y = 21 et 4x - 3y = 6, où une simple addition élimine y. Les deux méthodes donnent évidemment le même couple solution, le choix ne change que la longueur des calculs.
Quand un système n'admet-il aucune solution ?
Quand les deux droites sont parallèles distinctes, c'est-à-dire quand les coefficients des inconnues sont proportionnels mais pas les seconds membres. Le déterminant est alors nul et la résolution aboutit à une égalité fausse du type 0 = 5. Par exemple 2x + 5y = 7 et 4x + 10y = 9 : en multipliant la première par 2 on obtient 4x + 10y = 14, ce qui contredit la seconde. Le système est dit incompatible et son ensemble de solutions est vide.
Que signifie 0 = 0 dans la résolution d'un système ?
Cela signifie que les deux équations sont équivalentes et que le système admet une infinité de solutions, surtout pas qu'il est impossible. Dans 3x - y = 2 et 6x - 2y = 4, la seconde équation est la première multipliée par 2 : les deux droites sont confondues et tout couple vérifiant la première convient. La bonne réponse consiste à dire que les solutions sont tous les couples de la droite 3x - y = 2.
À quoi sert le déterminant d'un système ?
Le déterminant du système ax + by = c et a'x + b'y = c' vaut ab' - ba'. S'il est différent de zéro, les droites sont sécantes et le système admet un couple solution unique. S'il est nul, les droites sont parallèles : il reste à comparer les seconds membres pour savoir si elles sont confondues, avec une infinité de solutions, ou strictement parallèles, sans aucune solution. C'est donc un test rapide qui donne la nature du système avant même de le résoudre.