Matemática

Sistemas de equações: 8 exercícios resolvidos

Um sistema de duas equações do 1º grau resolve-se por substituição ou adição. Tabela dos métodos, os três casos possíveis e 8 exercícios resolvidos passo a passo.

Recomendado para: 9º ano · 1ª série do Ensino Médio

Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é um par de equações que devem valer ao mesmo tempo, como 2x + y = 7 e x - y = 2. Resolver o sistema é achar o par de números (x; y) que satisfaz as duas equações juntas. Como cada equação representa uma reta no plano cartesiano, a solução é o ponto onde as retas se encontram.

Os três métodos de resolução

Os três métodos dão sempre o mesmo resultado. O que muda é a quantidade de contas, e por isso vale escolher olhando primeiro para os coeficientes.

Método	Quando convém usar	Mini-exemplo
Substituição	Uma equação já tem uma incógnita isolada ou com coeficiente 1	Em y = x + 3 e 2x + y = 12 troco y por x + 3: 2x + x + 3 = 12
Adição	Os coeficientes de uma incógnita já são opostos, ou ficam opostos multiplicando uma equação	Em 3x + 2y = 19 e 5x - 2y = 21 somo as duas: 8x = 40
Gráfico	Você quer visualizar a situação ou classificar o sistema de imediato	Traço as retas y = -2x + 7 e y = x - 2 e leio o ponto de encontro

Antes de aplicar qualquer método, deixe as duas equações na forma normal ax + by = c: aplique a distributiva nos parênteses e, se houver frações, multiplique todos os termos pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, como se faz nas equações do 1º grau.

Os três casos possíveis

O número de soluções depende só da relação entre os coeficientes das duas equações a₁x + b₁y = c₁ e a₂x + b₂y = c₂.

Classificação	Condição sobre os coeficientes	Interpretação gráfica	Número de soluções
Possível e determinado	a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	Retas incidentes, cruzam num ponto	Uma única, o par (x; y)
Impossível	a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	Retas paralelas distintas	Nenhuma, conjunto vazio
Possível e indeterminado	a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	Retas coincidentes, a mesma reta	Infinitas, ∞ pares

Na prática você reconhece os dois casos limite pelo que aparece no fim das contas: se sobrar uma igualdade falsa como 0 = 7, o sistema é impossível; se sobrar 0 = 0, é indeterminado.

Erros mais comuns

Substituir em uma equação só e esquecer a outra. Depois de isolar uma incógnita, a expressão precisa entrar na OUTRA equação: substituí-la na mesma equação de onde saiu leva a 0 = 0 e não resolve nada.
Errar o sinal ao subtrair uma equação da outra. Ao fazer (4x - 2y) - (x - 2y) todos os termos da segunda mudam de sinal, inclusive o termo independente.
Parar depois de achar uma incógnita só. A resposta de um sistema é sempre um par ordenado: achou x, volte a uma das equações e calcule y.
Não multiplicar TODOS os termos ao preparar a eliminação. Se multiplico x + 2y = 10 por 2, obtenho 2x + 4y = 20, e não 2x + 4y = 10.
Concluir que é impossível ao chegar a 0 = 0. Esse resultado indica infinitas soluções, ou seja, sistema indeterminado; o caso impossível é o de uma igualdade falsa como 0 = 7.
Verificar em uma equação só. Um par errado pode satisfazer uma das equações por acaso: a conferência vale nas duas.

Se os denominadores atrapalharem na hora de reduzir o sistema à forma normal, vale rever antes as operações com frações. E quando uma das duas equações tiver uma incógnita ao quadrado, o sistema deixa de ser do 1º grau: aí a substituição leva a uma equação que se resolve com a fórmula das equações do 2º grau.

Nos exercícios abaixo a dificuldade cresce de verdade: começamos com uma substituição imediata e uma adição de coeficientes opostos, passamos por um sistema que precisa ser preparado, por frações, por uma solução com vírgula e pela classificação nos três casos, e terminamos com um sistema entre parênteses e um problema de bilheteria que precisa ser traduzido antes de ser resolvido.

Exercícios resolvidos

1. Resolva pelo método da substituição: y = x + 3 e 2x + y = 12 base

Mostrar solução

A primeira equação já me dá y isolado, então substituo x + 3 no lugar de y na segunda equação: 2x + (x + 3) = 12.
Reduzo os termos semelhantes: 3x + 3 = 12, logo 3x = 9.
x = 3.
Volto à equação que tinha y isolado para achar a segunda incógnita: y = 3 + 3 = 6.
Verificação nas duas equações originais: y = x + 3 dá 6 = 3 + 3, confere; 2 · 3 + 6 = 6 + 6 = 12, confere.

Resposta: (3; 6)

2. Resolva pelo método da adição: 3x + 2y = 19 e 5x - 2y = 21 base

Mostrar solução

Observo os coeficientes de y: são +2 e -2, ou seja, já são opostos. Posso somar as duas equações membro a membro sem preparar nada.
Somando: (3x + 5x) + (2y - 2y) = 19 + 21, ou seja 8x = 40.
x = 5.
Substituo x = 5 na primeira equação: 3 · 5 + 2y = 19, logo 2y = 19 - 15 = 4 e y = 2.
Verificação nas duas equações originais: 3 · 5 + 2 · 2 = 15 + 4 = 19, confere; 5 · 5 - 2 · 2 = 25 - 4 = 21, confere.

Resposta: (5; 2)

3. Resolva: 2x + 5y = 24 e x + 2y = 10 intermedio

Mostrar solução

Aqui nenhum par de coeficientes é oposto nem igual, então preciso preparar o sistema antes de somar ou subtrair.
Multiplico TODOS os termos da segunda equação por 2, inclusive o termo independente: 2x + 4y = 20.
Agora as duas equações têm 2x. Subtraio a nova segunda equação da primeira: (2x - 2x) + (5y - 4y) = 24 - 20, ou seja y = 4.
Substituo y = 4 na equação original x + 2y = 10: x + 8 = 10, logo x = 2.
Verificação nas duas equações originais: 2 · 2 + 5 · 4 = 4 + 20 = 24, confere; 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10, confere.

Resposta: (2; 4)

4. Resolva o sistema com frações: x/2 + y/3 = 3 e x - y = 1 intermedio

Mostrar solução

Começo eliminando os denominadores da primeira equação. O mínimo múltiplo comum de 2 e 3 é 6.
Multiplico todos os termos da primeira equação por 6, inclusive o 3 do segundo membro: 3x + 2y = 18.
A segunda equação me dá x facilmente isolado: x = y + 1. Uso o método da substituição.
Substituo na equação sem denominadores: 3(y + 1) + 2y = 18, ou seja 3y + 3 + 2y = 18 e 5y = 15.
y = 3, portanto x = 3 + 1 = 4.
Verificação nas duas equações originais, com as frações: 4/2 + 3/3 = 2 + 1 = 3, confere; 4 - 3 = 1, confere.

Resposta: (4; 3)

5. Resolva: x + y = 4 e 4x - 2y = 1 intermedio

Mostrar solução

Isolo y na primeira equação, que é a mais simples: y = 4 - x.
Substituo na segunda: 4x - 2(4 - x) = 1. Cuidado com o sinal de menos na frente do parêntese: 4x - 8 + 2x = 1.
Reduzo: 6x = 9, logo x = 9/6 = 3/2 = 1,5.
Substituo de volta: y = 4 - 1,5 = 2,5.
A solução não ser um par de números inteiros não indica erro nenhum: um sistema pode perfeitamente ter solução fracionária.
Verificação nas duas equações originais: 1,5 + 2,5 = 4, confere; 4 · 1,5 - 2 · 2,5 = 6 - 5 = 1, confere.

Resposta: (1,5; 2,5)

6. Classifique cada sistema em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível, justificando. a) 2x + 3y = 6 e 4x + 6y = 12; b) x - 2y = 5 e 3x - 6y = 9; c) x + y = 5 e x - y = 1. avanzato

Mostrar solução

a) Comparo os coeficientes: 4/2 = 2, 6/3 = 2 e também 12/6 = 2. A segunda equação é exatamente a primeira multiplicada por 2, ou seja, a mesma reta escrita duas vezes. Sistema possível e indeterminado: infinitas soluções, todos os pares que satisfazem 2x + 3y = 6.
b) Coeficientes: 3/1 = 3 e -6/-2 = 3, mas 9/5 é diferente de 3. Os coeficientes das incógnitas são proporcionais e os termos independentes não: as retas são paralelas distintas. Sistema impossível, conjunto solução vazio. De fato, multiplicando a primeira por 3 obtenho 3x - 6y = 15, incompatível com 3x - 6y = 9.
c) 1/1 = 1 mas 1/-1 = -1: os coeficientes não são proporcionais, as retas se cruzam. Sistema possível e determinado. Somando as duas equações: 2x = 6, logo x = 3 e y = 5 - 3 = 2.
Verificação do caso c) nas duas equações originais: 3 + 2 = 5, confere; 3 - 2 = 1, confere.

Resposta: a) possível e indeterminado (infinitas soluções); b) impossível; c) possível e determinado, (3; 2)

7. Reduza à forma normal e resolva: 2(x + y) - 3 = x + 10 e 3(x - y) + y = x + 2 avanzato

Mostrar solução

Nenhuma das duas equações está na forma ax + by = c, então antes de escolher o método preciso reduzi-las.
Primeira equação: aplico a distributiva, 2x + 2y - 3 = x + 10. Levo as incógnitas para o primeiro membro e os números para o segundo: 2x - x + 2y = 10 + 3, ou seja x + 2y = 13.
Segunda equação: 3x - 3y + y = x + 2, ou seja 3x - 2y = x + 2. Reduzo: 2x - 2y = 2 e, dividindo tudo por 2, x - y = 1.
O sistema em forma normal é x + 2y = 13 e x - y = 1. Da segunda tiro x = y + 1 e substituo na primeira: (y + 1) + 2y = 13, logo 3y = 12 e y = 4.
x = 4 + 1 = 5.
Verificação nas duas equações ORIGINAIS, com os parênteses: 2(5 + 4) - 3 = 18 - 3 = 15 e 5 + 10 = 15, confere; 3(5 - 4) + 4 = 3 + 4 = 7 e 5 + 2 = 7, confere.

Resposta: (5; 4)

8. Um cinema vendeu 12 ingressos para uma sessão e arrecadou R$ 300,00. O ingresso inteiro custa R$ 30,00 e a meia-entrada custa R$ 15,00. Quantos ingressos de cada tipo foram vendidos? Monte o sistema antes de resolver. avanzato

Mostrar solução

Escolho as incógnitas: seja x o número de ingressos inteiros e y o número de meias-entradas.
Primeira equação, a contagem dos ingressos: x + y = 12.
Segunda equação, o dinheiro arrecadado: 30x + 15y = 300.
Uso o método da substituição, isolando y na primeira: y = 12 - x.
Substituo na segunda: 30x + 15(12 - x) = 300, ou seja 30x + 180 - 15x = 300 e 15x = 120.
x = 8, portanto y = 12 - 8 = 4.
Verificação nas duas equações originais: 8 + 4 = 12, confere; 30 · 8 + 15 · 4 = 240 + 60 = 300, confere.
Checagem de sentido: os dois valores são números inteiros e positivos de ingressos, então o resultado é plausível.

Resposta: 8 ingressos inteiros e 4 meias-entradas

Perguntas frequentes

Como resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas?

Você tem três caminhos. No método da substituição isole uma incógnita numa das equações e leve essa expressão para a outra, que passa a ter uma única incógnita. No método da adição deixe os coeficientes de uma das incógnitas opostos, multiplicando uma ou as duas equações, e some as equações membro a membro para eliminá-la. No método gráfico desenhe as duas retas e leia as coordenadas do ponto de encontro. Em qualquer um deles, depois de achar as duas incógnitas substitua o par nas duas equações originais para conferir.

Qual a diferença entre método da substituição e método da adição?

A substituição é mais rápida quando uma das equações já tem uma incógnita isolada ou com coeficiente 1, como em y = x + 3 ou x - y = 1, porque basta trocar a expressão na outra equação. O método da adição compensa quando os coeficientes de uma incógnita já são opostos ou iguais, como em 3x + 2y = 19 e 5x - 2y = 21: somando as duas equações o y desaparece de imediato. Os dois métodos sempre levam ao mesmo par de valores, então a escolha é só uma questão de economia de contas.

Quando um sistema é impossível ou indeterminado?

O sistema é impossível quando as retas são paralelas distintas: os coeficientes das incógnitas são proporcionais mas os termos independentes não, e ao resolver você chega a algo como 0 = 7, que é falso. É possível e indeterminado quando as duas equações representam a mesma reta: todos os coeficientes são proporcionais e você chega a 0 = 0, que é sempre verdadeiro e significa infinitas soluções. Nos demais casos o sistema é possível e determinado, com uma única solução.

O que significa 0 = 0 na resolução de um sistema?

Significa que as duas equações são equivalentes e que o sistema tem infinitas soluções, não que ele seja impossível. Em 2x + 3y = 6 e 4x + 6y = 12 a segunda equação é apenas a primeira multiplicada por 2, então qualquer par que satisfaça uma satisfaz a outra: o sistema é possível e indeterminado. A resposta correta não é dizer que não há solução, mas indicar que as soluções são todos os pares da reta 2x + 3y = 6.

Como resolver um sistema pelo método gráfico?

Escreva cada equação na forma y = ax + b, monte uma tabela com dois pontos por reta e trace as duas retas no mesmo plano cartesiano. Se elas se cruzam num ponto, as coordenadas desse ponto são a solução e o sistema é possível e determinado. Se ficam paralelas e distintas, não há ponto comum e o sistema é impossível. Se as duas retas coincidem, o sistema é indeterminado. O método gráfico é ótimo para entender o que está acontecendo, mas para soluções fracionárias como (1,5; 2,5) a leitura no desenho é imprecisa: aí confirme com a substituição.