Biologie

Mendelsche Gesetze: 8 Aufgaben mit Lösungen

Die Kreuzung Hh × Hh ergibt 3:1 im Phänotyp und 1:2:1 im Genotyp. Kombinationsquadrat, Produktregel, alle drei Gesetze in Tabellen und 8 Aufgaben mit Lösungen.

Die Begriffe, die zuerst sitzen müssen

Begriff	Was er bedeutet	Beispiel
Gen	DNA-Abschnitt, der für ein Merkmal zuständig ist	das Gen für die Blütenfarbe
Allel	jede Variante desselben Gens	P (purpurn) und p (weiß)
dominant	das Allel, das sich schon in einfacher Dosis zeigt	P, groß geschrieben
rezessiv	das Allel, das sich nur in doppelter Dosis zeigt	p, klein geschrieben
homozygot (reinerbig)	zwei gleiche Allele	PP oder pp
heterozygot (mischerbig)	zwei verschiedene Allele	Pp
Genotyp	die Allelkombination	Pp
Phänotyp	das sichtbare Merkmal	purpurne Blüte

Der Unterschied zwischen Genotyp und Phänotyp ist der Schlüssel zu fast jeder Aufgabe: PP und Pp ergeben denselben Phänotyp, und genau deshalb erscheint das Genotypverhältnis 1 : 2 : 1 als 3 : 1.

Die drei Gesetze in der Tabelle

Gesetz	Name	Was es besagt	Erzeugtes Verhältnis
1.	Uniformitätsgesetz	die Kreuzung zweier verschiedener Homozygoten ergibt eine einheitliche F1	100 % heterozygot
2.	Spaltungsgesetz	die beiden Allele trennen sich bei der Gametenbildung	3 : 1 (Phänotyp) und 1 : 2 : 1 (Genotyp) in der F2
3.	Unabhängigkeitsgesetz	Gene auf verschiedenen Chromosomen werden unabhängig vererbt	9 : 3 : 3 : 1 bei dihybrider Kreuzung

Das dritte Gesetz hat eine Grenze, die Mendel noch nicht kennen konnte: es gilt nur für Gene auf verschiedenen Chromosomen (oder weit voneinander entfernt auf demselben). Benachbarte Gene auf einem Chromosom werden gemeinsam vererbt — die später entdeckte Genkopplung — und dann weichen die Verhältnisse vom 9 : 3 : 3 : 1 ab.

So entsteht das Kombinationsquadrat

Das Kombinationsquadrat ist eine Tabelle mit doppeltem Eingang: die Gameten des einen Elternteils in den Spalten, die des anderen in den Zeilen.

Hh × Hh	H	h
H	HH (hoch)	Hh (hoch)
h	Hh (hoch)	hh (niedrig)

Liest man die vier Felder: 1 HH, 2 Hh, 1 hh. Drei Felder zeigen das dominante Merkmal, eines das rezessive — daher 3 : 1. Der Weg zur Prozentrechnung ist kurz: 3/4 = 75 % und 1/4 = 25 %.

Die Kreuzungen, die am häufigsten vorkommen

Kreuzung	Genotypen der Nachkommen	Phänotypen
PP × pp	100 % Pp	100 % dominant
Pp × Pp	1 PP : 2 Pp : 1 pp	3 dominant : 1 rezessiv
Pp × pp	1 Pp : 1 pp	1 : 1 (Testkreuzung)
PP × Pp	1 PP : 1 Pp	100 % dominant
pp × pp	100 % pp	100 % rezessiv

Die dritte Zeile lohnt sich zu merken: die Testkreuzung mit einem homozygot rezessiven Partner ist genau das Verfahren, um herauszufinden, ob ein dominant aussehendes Individuum PP oder Pp ist.

Die Abkürzung bei dihybriden Kreuzungen: die Produktregel

Bei einer dihybriden Kreuzung hat das Quadrat 16 Felder, und es von Hand auszufüllen kostet Zeit und produziert Fehler. Der kurze Weg ist, ein Gen nach dem anderen zu betrachten und die Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren — genau wie beim Multiplizieren von Brüchen.

Phänotyp bei RrGg × RrGg	Rechnung	Wahrscheinlichkeit
rund und gelb	3/4 · 3/4	9/16 = 56,25 %
rund und grün	3/4 · 1/4	3/16 = 18,75 %
runzelig und gelb	1/4 · 3/4	3/16 = 18,75 %
runzelig und grün	1/4 · 1/4	1/16 = 6,25 %

Die Summe der vier Zeilen ist 16/16 = 1: das ist die Probe, die die Aufgabe abschließt. Aber Achtung: 9 : 3 : 3 : 1 ist keine allgemeine Formel, sondern das besondere Ergebnis zweier miteinander gekreuzter Dihybriden. Bei RrGg × Rrgg wird das Verhältnis zu 3 : 3 : 1 : 1, wie Aufgabe 7 zeigt.

Wenn die Mendelschen Verhältnisse nicht herauskommen

Situation	Was passiert	Beobachtetes Verhältnis
intermediärer Erbgang	der Heterozygote liegt im Phänotyp dazwischen	1 : 2 : 1 (rot, rosa, weiß)
Kodominanz	beide Allele werden gemeinsam ausgeprägt	1 : 2 : 1, der Heterozygote zeigt beide Farben
multiple Allele	das Gen hat mehr als zwei Varianten	Blutgruppen A, B, AB und 0
Genkopplung	benachbarte Gene auf demselben Chromosom	Abweichung vom 9 : 3 : 3 : 1
kleine Stichprobe	der Zufall dominiert	5 Nachkommen können alle dominant sein

Der letzte Punkt wird am häufigsten missverstanden: 3 : 1 ist ein erwartetes Verhältnis, keine garantierte Quote. Bei 4 Nachkommen kann durchaus kein einziger rezessiver auftreten; die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt (3/4)⁴ = 81/256, also etwa 31,6 % — fast jeder dritte Fall.

Die häufigsten Fehler

Genotyp und Phänotyp verwechseln. Die Frage nach dem Verhältnis muss genau gelesen werden: 1 : 2 : 1 ist das Genotypverhältnis, 3 : 1 das Phänotypverhältnis, und beide beschreiben dieselben Nachkommen.
Falsche Gameten aufschreiben. Ein Individuum Aa bildet die Gameten A und a, nicht Gameten Aa. Jeder Gamet trägt pro Gen nur ein Allel.
Glauben, das rezessive Allel verschwinde in der F1. In Pp ist es vorhanden und geht in die Hälfte der Gameten; in der F2 tritt es wieder auf.
9 : 3 : 3 : 1 auf jede dihybride Kreuzung anwenden. Dieses Verhältnis gilt nur für RrGg × RrGg. In allen anderen Fällen müssen die Wahrscheinlichkeiten Gen für Gen multipliziert werden.
Addieren, wo multipliziert werden muss. “rund und gelb” verlangt eine Multiplikation (3/4 · 3/4); “runzelig oder grün” verlangte eine Addition, bei der die Überschneidung abgezogen wird.
Denken, ein rezessives Kind senke das Risiko für das nächste. Jede Geburt ist unabhängig: die Wahrscheinlichkeit bleibt 1/4, wie in Aufgabe 8.
Eine kleine Stichprobe wie das theoretische Verhältnis behandeln. Bei wenigen Nachkommen ist die Abweichung die Regel, nicht die Ausnahme.

In den acht Aufgaben unten steigt die Schwierigkeit, und keine löst sich wie die vorige. Die ersten vier sind direkte Kreuzungen im Kombinationsquadrat; die fünfte geht rückwärts, vom Ergebnis zum Genotyp des Elternteils; die sechste und siebte wenden die Produktregel auf zwei verschiedene dihybride Kreuzungen an, mit unterschiedlichen Endverhältnissen; die achte verbindet die Unabhängigkeit der Geburten mit der Binomialverteilung — dort irrt die Intuition am häufigsten. Wer beim Rechnen mit Verhältnissen hängen bleibt, sieht sich vorher die Verhältnisgleichungen an.

Gelöste Aufgaben

1. Aufgabe: Kreuze zwei hochwachsende, heterozygote Erbsenpflanzen (Hh × Hh), wobei H = hochwachsend (dominant) und h = niedrigwachsend (rezessiv). Welcher Anteil der Nachkommen wird niedrigwachsend? Gib auch Genotyp- und Phänotypverhältnis an. base

Lösung anzeigen

Jeder Elternteil Hh bildet zwei Gametentypen in gleicher Zahl: H und h, jeder mit der Wahrscheinlichkeit 1/2.
Ich zeichne das Kombinationsquadrat 2 × 2: H und h in der Zeile, H und h in der Spalte.
Die vier Kombinationen sind HH, Hh, Hh und hh.
Genotypverhältnis: 1 HH : 2 Hh : 1 hh.
Im Phänotyp ist H dominant: HH und Hh sind hochwachsend (3 Felder), nur hh ist niedrigwachsend (1 Feld).
Der Anteil niedrigwachsender Pflanzen ist also 1/4, das sind 25 %.

Ergebnis: 1/4 (25 %) der Nachkommen ist niedrigwachsend. Genotyp 1 HH : 2 Hh : 1 hh, Phänotyp 3 hochwachsend : 1 niedrigwachsend.

2. Aufgabe: Kreuze eine purpurblütige, homozygot dominante Erbsenpflanze (PP) mit einer weißblütigen, homozygot rezessiven (pp). Welchen Genotyp und welchen Phänotyp hat die F1-Generation? base

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Der Elternteil PP bildet nur P-Gameten, der Elternteil pp nur p-Gameten.
Da es auf jeder Seite nur einen Gametentyp gibt, ist nur eine Kombination möglich: P von der einen, p von der anderen Seite.
Alle Nachkommen sind Pp, also 100 % heterozygot.
P ist dominant über p, deshalb blühen alle Pp purpurfarben.
Genau das ist das Uniformitätsgesetz: die F1 aus zwei verschiedenen Homozygoten ist einheitlich.

Ergebnis: 100 % Pp (heterozygot) und 100 % purpurne Blüten. In der F1 erscheint keine weiße Blüte, das Allel p ist aber weiterhin vorhanden.

3. Aufgabe: Führe eine Testkreuzung durch: kreuze ein heterozygotes Individuum Aa mit einem homozygot rezessiven aa (A dominant, a rezessiv). Wie lauten Genotyp- und Phänotypverhältnis der Nachkommen? base

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Der Elternteil Aa bildet die Gameten A und a, je zur Hälfte.
Der Elternteil aa bildet ausschließlich a-Gameten.
Kombinationen: A mit a ergibt Aa; a mit a ergibt aa.
Genotypverhältnis: 1 Aa : 1 aa, also 50 % und 50 %.
Phänotyp: Aa zeigt das dominante Merkmal, aa das rezessive, also 1 : 1.
Deshalb dient diese Kreuzung zur Genotypbestimmung: ein einziger rezessiver Nachkomme beweist, dass der dominant aussehende Elternteil heterozygot war.

Ergebnis: 1 Aa : 1 aa im Genotyp und 1 dominant : 1 rezessiv im Phänotyp, also je 50 %.

4. Aufgabe: Wie groß ist bei der Kreuzung Aa × Aa die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nachkomme heterozygot (Aa) ist? Und dass er homozygot ist, egal von welchem Typ? base

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Die vier Kombinationen im Kombinationsquadrat sind AA, Aa, Aa und aa.
Der Genotyp Aa steht in 2 von 4 Feldern.
Wahrscheinlichkeit für heterozygot: 2/4 = 1/2 = 50 %.
Homozygot sind AA (1 Feld) und aa (1 Feld), also 2/4 = 50 %.
Probe: 1/2 + 1/2 = 1, damit sind alle Möglichkeiten erfasst.

Ergebnis: 50 % für Aa und 50 % für homozygot (25 % AA und 25 % aa). Der Heterozygote ist der wahrscheinlichste Genotyp, weil er auf zwei Wege entstehen kann.

5. Aufgabe: Eine purpurblütige Erbsenpflanze wird mit einer weißblütigen (pp) gekreuzt, und die Hälfte der Nachkommen blüht weiß. Welchen Genotyp hatte die purpurblütige Pflanze? Begründe. intermedio

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Ich rechne rückwärts: vom Ergebnis zurück zum Genotyp.
Ich prüfe die Annahme PP × pp: dann wären alle Nachkommen Pp, also 100 % purpurn. Das widerspricht der Beobachtung.
Ich prüfe die Annahme Pp × pp: die purpurne Pflanze bildet P- und p-Gameten, je zur Hälfte, die weiße nur p-Gameten.
Kombinationen: Pp (purpurn) und pp (weiß), also 50 % und 50 %.
Das passt zur Beobachtung, die purpurblütige Pflanze war also heterozygot.
Allgemeine Regel: jeder rezessive Nachkomme beweist, dass beide Eltern das rezessive Allel trugen.

Ergebnis: Sie war heterozygot (Pp). Wäre sie PP gewesen, hätte keine einzige weiße Blüte entstehen können, weil kein einziger p-Gamet gebildet worden wäre.

6. Aufgabe: Dihybride Kreuzung RrGg × RrGg (R = runde Samen dominant, r = runzelig; G = gelb dominant, g = grün), beide Gene unabhängig. Berechne: (a) P(rund und gelb); (b) P(runzelig und grün); (c) P(rund und grün). intermedio

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Ich behandle jedes Gen getrennt, weil sie unabhängig voneinander vererbt werden.
Für die Form gilt: Rr × Rr ergibt 3/4 rund und 1/4 runzelig.
Für die Farbe gilt: Gg × Gg ergibt 3/4 gelb und 1/4 grün.
(a) Nach der Produktregel: 3/4 · 3/4 = 9/16 runde und gelbe Samen.
(b) 1/4 · 1/4 = 1/16 runzelige und grüne Samen.
(c) 3/4 · 1/4 = 3/16 runde und grüne Samen.
Probe: 9/16 + 3/16 + 3/16 + 1/16 = 16/16 = 1, das klassische Verhältnis 9 : 3 : 3 : 1.

Ergebnis: (a) 9/16 (56,25 %); (b) 1/16 (6,25 %); (c) 3/16 (18,75 %).

7. Aufgabe: Kreuzung RrGg × Rrgg, mit den Allelen aus der vorigen Aufgabe und unabhängiger Vererbung. Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes der vier Phänotypen und prüfe, ob die Summe 1 ergibt. avanzato

Lösung anzeigen

Ich trenne die Gene wieder. Für die Form: Rr × Rr ergibt 3/4 rund und 1/4 runzelig.
Für die Farbe ist die Lage anders als in Aufgabe 6: Gg × gg ergibt 1/2 gelb (Gg) und 1/2 grün (gg).
Rund und gelb: 3/4 · 1/2 = 3/8.
Rund und grün: 3/4 · 1/2 = 3/8.
Runzelig und gelb: 1/4 · 1/2 = 1/8.
Runzelig und grün: 1/4 · 1/2 = 1/8.
Summe: 3/8 + 3/8 + 1/8 + 1/8 = 8/8 = 1. Stimmt.
Beachte: das Verhältnis ist hier 3 : 3 : 1 : 1 und nicht 9 : 3 : 3 : 1. Es hängt von der Kreuzung ab und ist keine feste Formel.

Ergebnis: 3/8 rund-gelb, 3/8 rund-grün, 1/8 runzelig-gelb, 1/8 runzelig-grün, also 3 : 3 : 1 : 1. Die Summe ergibt 1.

8. Aufgabe: Zwei Eltern mit demselben dominanten Merkmal haben ein Kind, das das rezessive Merkmal zeigt. (a) Welche Genotypen haben die Eltern? (b) Wie wahrscheinlich ist es, dass das nächste Kind ebenfalls rezessiv ist? (c) Und dass genau 2 von 4 Kindern rezessiv sind? avanzato

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(a) Das rezessive Kind ist aa, hat also von jedem Elternteil ein a-Allel erhalten. Da beide Eltern das dominante Merkmal zeigen, ist keiner aa: beide sind folglich Aa.
(b) Aa × Aa ergibt bei jeder Geburt 1/4 aa. Geburten sind unabhängige Ereignisse, die Wahrscheinlichkeit bleibt also 1/4 = 25 %.
Hier liegt die typische Falle: das bereits geborene rezessive Kind 'verbraucht' die Wahrscheinlichkeit nicht. Eine Münze erinnert sich nicht an frühere Würfe.
(c) Genau 2 rezessive von 4 Kindern ist ein Fall für die Binomialverteilung: Anzahl der Anordnungen · p² · (1-p)².
Anzahl der Möglichkeiten, 2 aus 4 auszuwählen: C(4,2) = 6.
p² = (1/4)² = 1/16 und (1-p)² = (3/4)² = 9/16.
Wahrscheinlichkeit: 6 · 1/16 · 9/16 = 54/256 = 27/128.
In Prozent: 27 : 128 = 0,2109, also etwa 21,1 %.

Ergebnis: (a) Beide Eltern sind Aa. (b) 25 %, bei jeder Geburt und unabhängig von den vorherigen Kindern. (c) 27/128, also rund 21,1 %.

Häufige Fragen

Wie lauten die drei Mendelschen Gesetze?

Das erste, das Uniformitätsgesetz, besagt: die Kreuzung zweier verschiedener Homozygoten ergibt eine völlig einheitliche F1. Das zweite, das Spaltungsgesetz, besagt: die beiden Allele eines Gens trennen sich bei der Gametenbildung, wodurch in der F2 das Verhältnis 3:1 entsteht. Das dritte, das Unabhängigkeitsgesetz (auch Neukombinationsgesetz), besagt: Gene auf verschiedenen Chromosomen werden unabhängig voneinander vererbt, daher das Verhältnis 9:3:3:1.

Wie zeichnet man ein Kombinationsquadrat?

Die Gameten des einen Elternteils kommen in die Spalten, die des anderen in die Zeilen; dann füllt man jedes Feld, indem man den Buchstaben der Zeile mit dem der Spalte zusammensetzt. Eine monohybride Kreuzung braucht ein 2 × 2-Quadrat (4 Felder), eine dihybride ein 4 × 4-Quadrat (16 Felder). Bei dihybriden Kreuzungen ist es deutlich schneller, jedes Gen einzeln zu behandeln und die Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren.

Was ist der Unterschied zwischen Genotyp und Phänotyp?

Der Genotyp ist die Allelkombination, geschrieben mit Buchstaben: AA, Aa oder aa. Der Phänotyp ist das sichtbare Merkmal: Blütenfarbe, Wuchshöhe. Da das dominante Allel das rezessive überdeckt, ergeben zwei verschiedene Genotypen (AA und Aa) denselben Phänotyp — und genau deshalb erscheint das Genotypverhältnis 1:2:1 als Phänotypverhältnis 3:1.

Was bedeutet das Verhältnis 3:1?

Es ist das Ergebnis der Kreuzung zweier Heterozygoten, Aa × Aa: drei Viertel der Nachkommen zeigen das dominante Merkmal, ein Viertel das rezessive, also 75 % und 25 %. Im Genotyp verteilen sich dieselben Nachkommen auf 1 AA : 2 Aa : 1 aa, weil der Heterozygote auf zwei Wege entstehen kann.

Wie erkennt man, ob ein dominantes Individuum homozygot oder heterozygot ist?

Mit einer Testkreuzung gegen einen homozygot rezessiven Partner (aa). Zeigen alle Nachkommen das dominante Merkmal, ist das Individuum wahrscheinlich AA; ist etwa die Hälfte rezessiv, ist es Aa. Ein einziger rezessiver Nachkomme genügt als Beweis dafür, dass es heterozygot war.