Mathématiques
Pourcentages : 8 exercices corrigés pas à pas
Un pourcentage se calcule en multipliant le nombre par p puis en divisant par 100. Formules, tableau des équivalences et 8 exercices corrigés pas à pas.
Recommandé pour: 6e · 5e
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : écrire 12 % revient à écrire 12/100, soit 0,12. Calculer 12 % de 350 consiste donc à effectuer 350 · 12/100 = 42. Au cœur du chapitre, il n’y a que trois questions : combien vaut la partie, quel pourcentage elle représente et quel était le total.
Les trois formules du pourcentage
Notons T le total, P la partie et p le taux en pourcentage. Les trois formules ci-dessous sont une seule et même relation, vue sous trois angles.
| Ce que l’on cherche | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| La partie (p % d’un nombre) | P = T · p/100 | 12 % de 350 = 350 · 0,12 = 42 |
| Le taux (quel % vaut la partie) | p = P/T · 100 | 63 sur 180 = 63/180 · 100 = 35 % |
| Le total (à partir de la partie) | T = P · 100/p | 24 % valent 90, donc 90 : 0,24 = 375 |
Les deux dernières lignes sont celles qui posent problème. Le réflexe à garder : si c’est la partie qui manque, on multiplie ; si c’est le total, on divise. Pour qui maîtrise déjà les opérations sur les fractions, il s’agit toujours de la même proportion écrite autrement.
Pourcentages, fractions et décimaux
Retenir ces cinq lignes suffit pour la plupart des calculs de tête, en particulier devant une étiquette de soldes.
| Pourcentage | Fraction | Décimal | Astuce de calcul mental |
|---|---|---|---|
| 10 % | 1/10 | 0,1 | diviser par 10 |
| 20 % | 1/5 | 0,2 | diviser par 5 |
| 25 % | 1/4 | 0,25 | diviser par 4 |
| 50 % | 1/2 | 0,5 | prendre la moitié |
| 75 % | 3/4 | 0,75 | la moitié plus un quart |
Hausse et remise : le coefficient multiplicateur
Il ne faut pas calculer la remise puis soustraire : grâce au coefficient multiplicateur, une seule opération suffit. Une remise de 35 % laisse 65 % du prix, donc le coefficient vaut 0,65. Une hausse de 20 % donne le coefficient 1,20.
| Situation | Coefficient | Exemple |
|---|---|---|
| Remise de 35 % | 1 - 0,35 = 0,65 | 80 · 0,65 = 52 € |
| Hausse de 20 % (TVA) | 1 + 0,20 = 1,20 | 240 · 1,20 = 288 € |
| Revenir au prix initial | diviser par le coefficient | 78 : 0,60 = 130 € |
| Remise de 30 % puis hausse de 30 % | 0,70 · 1,30 = 0,91 | prix final 9 % plus bas |
Le coefficient rend aussi évident le fait que des pourcentages successifs se multiplient et ne s’additionnent jamais : deux remises de 30 % ne font pas 60 %, mais 0,70 · 0,70 = 0,49, soit 51 % de réduction. Quand le même coefficient se répète, le calcul devient une puissance et l’on retrouve les propriétés des puissances.
Un point de pourcentage n’est pas un pourcentage
Lorsqu’un taux évolue, il existe deux façons correctes de mesurer cette évolution, et elles ne donnent pas le même nombre.
Si un taux de réussite passe de 25 % à 28 %, la hausse vaut 3 points de pourcentage (28 - 25). Mais la variation en pourcentage vaut 3/25 = 0,12, soit 12 %. Dire que le taux a augmenté de 3 % est donc faux. Dans les problèmes où le total est inconnu, on écrit la relation avec une inconnue et on la résout comme une des équations du premier degré : le pourcentage n’est plus qu’un coefficient.
Les erreurs les plus fréquentes
- Additionner deux pourcentages successifs. Une remise de 30 % suivie d’une autre de 30 % ne fait pas 60 % : les coefficients se multiplient, 0,70 · 0,70 = 0,49, soit 51 %.
- Croire naïvement que -30 % puis +30 % ramène au prix de départ. La hausse porte sur le prix déjà soldé : 0,70 · 1,30 = 0,91, il reste donc un prix inférieur de 9 %.
- Confondre point de pourcentage et variation en pourcentage. De 25 % à 28 %, ce sont 3 points de pourcentage, qui correspondent à une hausse de 12 %.
- Ajouter le pourcentage pour annuler une remise. Après une remise de 40 %, un article payé 78 € valait 78 : 0,60 = 130 € et non 78 · 1,40 = 109,20 €.
- Inverser la partie et le total. Pour savoir quel pourcentage 63 représente sur 180, on calcule 63/180 et non 180/63, sinon on obtient un taux supérieur à 100 %.
- Se tromper de virgule en passant au décimal. 12 % vaut 0,12 et non 1,2 : un résultat dix fois trop grand vient presque toujours de là.
Dans les exercices qui suivent, la méthode reste la même mais la difficulté augmente : on part des trois formules de base, on passe au calcul d’une remise et d’une hausse avec le coefficient, on remonte au prix initial à partir du prix soldé, on distingue les points de pourcentage de la variation en pourcentage et on termine par les pourcentages successifs, le cas où presque tout le monde se trompe.
Exercices corrigés
1. Calcule 12 % de 350. base
Afficher la solution
- J'écris le pourcentage sous forme de fraction de dénominateur 100 : 12 % = 12/100 = 0,12.
- Je multiplie le nombre par ce coefficient : 350 · 0,12.
- 350 · 12/100 = 4200/100 = 42.
- Vérification : 10 % de 350 font 35 et 20 % en font 70. Le résultat 42 se situe bien entre les deux. C'est cohérent.
Réponse: 42
2. Dans un collège de 180 élèves, 63 sont demi-pensionnaires. Quel pourcentage cela représente-t-il ? base
Afficher la solution
- J'écris le rapport partie sur total : 63/180.
- Je simplifie en divisant les deux termes par 9 : 63/180 = 7/20.
- Je multiplie par 100 pour obtenir le pourcentage : 7/20 · 100 = 35.
- Les demi-pensionnaires représentent 35 % des élèves.
- Vérification : 35 % de 180 = 180 · 0,35 = 63. C'est juste.
Réponse: 35 %
3. 24 % d'un nombre valent 90. Quel est ce nombre ? base
Afficher la solution
- J'appelle le total x et j'écris la relation : 0,24 · x = 90.
- Ici c'est le total qui manque, donc je divise au lieu de multiplier : x = 90 : 0,24.
- x = 375.
- Vérification : 24 % de 375 = 375 · 0,24 = 90. C'est juste.
Réponse: 375
4. Pendant les soldes, un blouson à 80 € bénéficie d'une remise de 35 %. Quel est le prix payé ? base
Afficher la solution
- Plutôt que de calculer la remise puis de soustraire, j'utilise directement le coefficient multiplicateur 1 - 0,35 = 0,65, c'est-à-dire la part du prix que je paie encore.
- Je multiplie : 80 · 0,65 = 52.
- Le prix soldé est 52 €.
- Vérification par l'autre chemin : la remise vaut 80 · 0,35 = 28 €, et 80 - 28 = 52. Les deux méthodes donnent le même résultat.
Réponse: 52 €
5. Un article coûte 240 € hors taxes. Quel est son prix TTC avec une TVA de 20 % ? intermedio
Afficher la solution
- Une hausse de 20 % correspond au coefficient 1 + 0,20 = 1,20.
- Je multiplie : 240 · 1,20 = 288.
- Le prix TTC est 288 €.
- Vérification : le montant de la TVA est 240 · 0,20 = 48 €, et 240 + 48 = 288. C'est juste.
Réponse: 288 €
6. Après une remise de 40 %, Léa a payé une paire de baskets 78 €. Quel était le prix initial ? intermedio
Afficher la solution
- Attention : on ne retrouve pas le prix initial en ajoutant 40 % au prix payé, car le pourcentage portait sur l'ancien prix et non sur le nouveau.
- Le prix payé correspond au coefficient 1 - 0,40 = 0,60 du prix initial : 0,60 · x = 78.
- Je défais la multiplication en divisant par le coefficient : x = 78 : 0,60 = 130.
- Le prix initial était 130 €.
- Vérification : 130 · 0,60 = 78. C'est juste. Ajouter 40 % aux 78 € aurait donné 109,20 €, une réponse fausse.
Réponse: 130 €
7. Le taux de réussite d'un club de sport est passé de 25 % à 28 %. Quelle est la hausse en points de pourcentage et quelle est la variation en pourcentage ? avanzato
Afficher la solution
- Points de pourcentage : c'est la simple différence entre les deux taux. 28 - 25 = 3 points de pourcentage.
- Variation en pourcentage : je compare l'écart à la valeur de départ. (28 - 25)/25 = 3/25 = 0,12.
- 0,12 · 100 = 12 %, donc le taux de réussite a augmenté de 12 % par rapport à ce qu'il était.
- Les deux réponses sont différentes et toutes les deux exactes, car elles ne mesurent pas la même chose : une hausse de 3 points de pourcentage, soit une progression de 12 %.
- Vérification : 25 augmenté de 12 % donne 25 · 1,12 = 28. C'est juste.
Réponse: 3 points de pourcentage, soit une variation de 12 %
8. Pendant les soldes d'hiver qui suivent Noël, un jean à 60 € est remisé de 30 %. À la fin des soldes, le commerçant augmente ce nouveau prix de 30 %. Hugo affirme que le jean est revenu à 60 €. A-t-il raison ? Quelle est la variation totale en pourcentage ? avanzato
Afficher la solution
- Prix soldé : 60 · 0,70 = 42. Le jean est vendu 42 € pendant les soldes.
- La hausse de 30 % porte sur 42 € et non sur les 60 € du départ : 42 · 1,30 = 54,60.
- Le prix final est 54,60 €, donc Hugo a tort : il manque 5,40 € pour revenir au prix initial.
- Variation totale : (54,60 - 60)/60 = -5,40/60 = -0,09, soit -9 %.
- Le même résultat s'obtient directement avec les coefficients : 0,70 · 1,30 = 0,91, et un coefficient de 0,91 signifie 9 % de moins que le prix de départ.
- Vérification : 60 · 0,91 = 54,60. C'est juste.
Réponse: Non ; le prix final est 54,60 €, soit 9 % de moins qu'au départ
Questions fréquentes
Comment calculer un pourcentage d'un nombre ?
On multiplie le nombre par le pourcentage puis on divise par 100, ce qui revient à multiplier par le coefficient décimal correspondant. Pour 12 % de 350, on calcule 350 · 12/100 = 4200/100 = 42, ou directement 350 · 0,12 = 42. De tête, il suffit de retenir que 10 % revient à diviser par 10, 25 % à diviser par 4 et 50 % à prendre la moitié. Si le résultat dépasse le nombre de départ alors que le pourcentage est inférieur à 100 %, c'est qu'il y a une erreur de virgule.
Comment calculer un pourcentage de réduction ?
Le plus rapide est d'utiliser le coefficient multiplicateur. Une remise de 35 % laisse 100 % - 35 % = 65 % du prix, donc on multiplie par 0,65 : un blouson à 80 € revient à 80 · 0,65 = 52 €. Pour une hausse, le principe est identique mais le coefficient dépasse 1 : augmenter de 20 % revient à multiplier par 1,20. Cette méthode évite la double opération remise puis soustraction, où l'on oublie souvent de soustraire.
Comment retrouver le prix initial après une remise ?
On divise le prix payé par le coefficient de la remise, on n'ajoute pas le pourcentage. Après une remise de 40 %, le prix payé représente 0,60 du prix initial : si Léa a payé 78 €, le prix de départ était 78 : 0,60 = 130 €. Ajouter 40 % aux 78 € donnerait 109,20 €, un résultat faux, car le pourcentage se calculait sur l'ancien prix et non sur le nouveau.
Quelle est la différence entre point de pourcentage et pourcentage ?
Un point de pourcentage est l'écart brut entre deux taux ; la variation en pourcentage rapporte cet écart à la valeur de départ. Quand un taux passe de 25 % à 28 %, la hausse est de 3 points de pourcentage, mais la variation vaut 3/25 = 12 %. Dire que le taux a augmenté de 3 % serait faux, puisque 3 % de 25 % ne font que 0,75 point. C'est pour cette raison que les journaux parlent de points quand il s'agit de taux d'intérêt, d'inflation ou de sondages.
Pourquoi -30 % puis +30 % ne redonne pas le prix de départ ?
Parce que les deux pourcentages ne portent pas sur la même base. Un jean à 60 € remisé de 30 % passe à 42 €, et la hausse de 30 % s'applique ensuite à ces 42 €, ce qui ne rajoute que 12,60 € au lieu de 18 €. Le prix final est 54,60 €, soit 9 % de moins qu'au départ. Avec les coefficients c'est immédiat : 0,70 · 1,30 = 0,91, un produit toujours inférieur à 1. Pour la même raison, deux remises de 30 % ne font pas 60 % mais 0,70 · 0,70 = 0,49, c'est-à-dire 51 % de réduction.