Mathématiques

Identités remarquables : formules et 8 exercices corrigés

Le carré d'une somme vaut (a+b)² = a² + 2ab + b², jamais a² + b². Toutes les formules, les erreurs fréquentes et 8 exercices corrigés pas à pas, vérifiés.

Recommandé pour: 3e · Seconde

Les identités remarquables sont des égalités qui permettent de développer ou de factoriser sans multiplier terme à terme. La plus connue est le carré d’une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b². Tu les utiliseras dans toute l’algèbre : factorisation, équations, fractions algébriques.

Les formules à connaître

NomFormuleTermes du résultat
Carré d’une somme(a + b)² = a² + 2ab + b²3
Carré d’une différence(a − b)² = a² − 2ab + b²3
Produit somme-différence(a + b)(a − b) = a² − b²2
Cube d’une somme(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³4
Cube d’une différence(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³4
Carré d’un trinôme(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc6
Somme de deux cubesa³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)produit
Différence de deux cubesa³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)produit

Au collège, on travaille surtout les trois premières lignes. Les cubes et le trinôme arrivent plutôt en Seconde.

Carré d’une somme et d’une différence

Le carré d’un binôme est le carré du premier terme, plus le double produit des deux termes, plus le carré du second. Le double produit prend le signe du binôme : plus pour une somme, moins pour une différence. Les carrés restent toujours positifs.

Exemple : (2x + 7)² = 4x² + 28x + 49. Ici le double produit vaut 2 × 2x × 7 = 28x.

Pourquoi un double produit ? Un carré de côté a + b se découpe en un carré d’aire a², un carré d’aire b² et deux rectangles d’aire a × b. D’où le 2ab. Si tu l’oublies, tu perds deux rectangles entiers.

Produit somme-différence

Quand les deux facteurs ont les mêmes termes et des signes opposés, les termes du milieu s’annulent et il reste la différence des carrés : (A + B)(A − B) = A² − B². Exemple : (5y + 2)(5y − 2) = 25y² − 4.

Attention à l’ordre : le résultat est toujours « carré du terme positif moins carré du terme négatif ». Pour (3 − x)(3 + x), on obtient 9 − x² et non x² − 9.

Cube d’une somme ou d’une différence

Les coefficients 1, 3, 3, 1 sont ceux de la quatrième ligne du triangle de Pascal. Les exposants de a descendent de 3 à 0, ceux de b montent de 0 à 3. Pour une différence, les signes alternent : +, −, +, −.

Exemple : (2x + 1)³ = 8x³ + 3 × 4x² × 1 + 3 × 2x × 1 + 1 = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

Carré d’un trinôme

On élève les trois termes au carré, puis on ajoute les trois doubles produits, chacun avec le signe de ses deux termes. Exemple : (a + 2b − 3)² = a² + 4b² + 9 + 4ab − 6a − 12b.

Pour contrôler, remplace a = 1 et b = 1 : à gauche (1 + 2 − 3)² = 0, à droite 1 + 4 + 9 + 4 − 6 − 12 = 0.

Les utiliser dans l’autre sens

Lues de droite à gauche, ces formules servent à factoriser. Cherche un trinôme avec deux carrés parfaits et un double produit : c’est un carré. Cherche une différence de deux carrés : elle se factorise en produit somme-différence. Si les puissances te posent encore problème, révise les propriétés des puissances. Pour exploiter ces développements dans une équation, entraîne-toi avec les équations du premier degré puis les équations du second degré.

Les erreurs les plus fréquentes

ErreurPourquoi c’est fauxCorrection
(a + b)² = a² + b²Il manque le double produita² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − b²Confusion avec la différence de deux carrésa² − 2ab + b²
(3x)² = 3x²Le coefficient n’est pas élevé au carré9x²
(a − b)² = a² − 2ab − b²Le carré de b est toujours positifa² − 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + b³Il manque les deux termes mixtesa³ + 3a²b + 3ab² + b³
− (x − 2)² développé en − x² − 4x + 4Le signe moins devant change tous les signes− x² + 4x − 4

Cas particuliers à surveiller

  • Coefficients et lettres avec exposants : dans (2x²y)², le carré vaut 4x⁴y², car les exposants doublent.
  • Premier terme négatif : dans (−x + 3)², le premier terme est −x et son carré est x². Le développement est x² − 6x + 9.
  • Fractions : (x/2 + 1)² = x²/4 + x + 1, car le double produit est 2 × x/2 × 1 = x.
  • Plusieurs carrés dans la même expression : développe chaque identité séparément, puis réduis les termes semblables.

Une méthode en quatre étapes

  1. Reconnais la forme : combien de termes doit avoir le résultat, et quels sont les signes des facteurs ?
  2. Identifie A et B, en les mettant entre parenthèses s’ils ont un coefficient.
  3. Applique la formule sans sauter aucun terme.
  4. Vérifie avec une valeur simple, par exemple x = 1 ou x = 2.

Dans les exercices ci-dessous, la difficulté augmente : des formules de base au calcul mental, puis à la factorisation et aux équations. Chaque résultat est vérifié.

Exercices corrigés

1. Développe (x + 5)². base

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  1. C'est le carré d'une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b², avec a = x et b = 5.
  2. Carré du premier terme : x².
  3. Double produit : 2 × x × 5 = 10x.
  4. Carré du second terme : 5² = 25.

Réponse: x² + 10x + 25

2. Développe (3a − 2)². base

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  1. J'utilise (A − B)² = A² − 2AB + B², avec A = 3a et B = 2.
  2. A² = (3a)² = 9a² : le coefficient 3 est aussi élevé au carré.
  3. Double produit : 2 × 3a × 2 = 12a, avec le signe moins.
  4. B² = 4.

Réponse: 9a² − 12a + 4

3. Développe (4x + 3)(4x − 3). base

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  1. Les deux facteurs ont les mêmes termes et des signes opposés : c'est (A + B)(A − B) = A² − B².
  2. A = 4x, donc A² = 16x².
  3. B = 3, donc B² = 9.
  4. Les termes du milieu s'annulent : il ne reste aucun terme en x.

Réponse: 16x² − 9

4. Marc écrit (x + 3)² = x² + 9. Trouve son erreur, écris le développement correct et calcule l'écart entre les deux résultats pour x = 2. intermedio

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  1. Marc a élevé chaque terme au carré et a oublié le double produit 2 × x × 3 = 6x.
  2. Développement correct : (x + 3)² = x² + 6x + 9.
  3. Pour x = 2, la valeur correcte est 4 + 12 + 9 = 25, ce qui correspond à (2 + 3)² = 25.
  4. Le résultat de Marc vaut 4 + 9 = 13.
  5. L'écart est 25 − 13 = 12, exactement le terme manquant 6x pour x = 2.

Réponse: Il manque le double produit : (x + 3)² = x² + 6x + 9. Pour x = 2, on trouve 25 contre 13, soit un écart de 12.

5. Calcule de tête 99² et 51 × 49, sans calculatrice. intermedio

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  1. J'écris 99 = 100 − 1, donc 99² = (100 − 1)² = 100² − 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
  2. J'écris 51 = 50 + 1 et 49 = 50 − 1 : le produit est de la forme (a + b)(a − b).
  3. 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499.

Réponse: 99² = 9 801 ; 51 × 49 = 2 499

6. Développe (x − 2)³. intermedio

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  1. J'utilise (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, avec a = x et b = 2.
  2. a³ = x³.
  3. 3a²b = 3 × x² × 2 = 6x², avec le signe moins.
  4. 3ab² = 3 × x × 4 = 12x, avec le signe plus.
  5. b³ = 8, avec le signe moins.
  6. Je vérifie avec x = 3 : (3 − 2)³ = 1 et 27 − 54 + 36 − 8 = 1.

Réponse: x³ − 6x² + 12x − 8

7. Factorise 25x² − 30x + 9 et 49a² − 16b⁴. avanzato

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  1. Premier polynôme : 25x² = (5x)² et 9 = 3² sont des carrés parfaits.
  2. Le terme du milieu doit valoir 2 × 5x × 3 = 30x : c'est bien le cas, avec le signe moins.
  3. Donc 25x² − 30x + 9 = (5x − 3)².
  4. Second polynôme : 49a² = (7a)² et 16b⁴ = (4b²)², car (b²)² = b⁴. C'est une différence de deux carrés.
  5. 49a² − 16b⁴ = (7a − 4b²)(7a + 4b²).

Réponse: (5x − 3)² et (7a − 4b²)(7a + 4b²)

8. Résous l'équation (x + 4)² − (x − 4)² = 32. avanzato

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  1. Je développe (x + 4)² = x² + 8x + 16.
  2. Je développe (x − 4)² = x² − 8x + 16.
  3. Je soustrais, en changeant tous les signes du second développement : x² + 8x + 16 − x² + 8x − 16 = 16x.
  4. L'équation devient 16x = 32, donc x = 2.
  5. Vérification : 6² − (−2)² = 36 − 4 = 32.

Réponse: x = 2

Questions fréquentes

Comment retenir les formules des identités remarquables ?

Retiens la structure : le carré d'une somme ou d'une différence a toujours trois termes (premier au carré, double produit, second au carré), alors que (a + b)(a − b) en a deux. Le cube suit les coefficients 1, 3, 3, 1 du triangle de Pascal.

Pourquoi (a + b)² n'est-il pas égal à a² + b² ?

Parce que (a + b)² signifie (a + b)(a + b) et que chaque terme se multiplie par tous les autres. On obtient a², ab, ab et b² : les deux termes ab forment le double produit 2ab.

À quoi servent les identités remarquables ?

Elles servent à développer sans multiplier terme à terme, à factoriser des expressions, à simplifier des fractions algébriques et à calculer de tête des carrés comme 99² ou 101².

Comment reconnaître une expression à factoriser avec une identité remarquable ?

Regarde si deux termes sont des carrés parfaits et si le troisième est le double produit de leurs racines : c'est alors le carré d'une somme ou d'une différence. Si l'expression n'a que deux carrés séparés par un moins, c'est a² − b².

Quelle est la différence entre (a − b)² et a² − b² ?

(a − b)² est un carré qui se développe en a² − 2ab + b², avec trois termes. a² − b² est une différence de deux carrés qui se factorise en (a + b)(a − b).