Matemática

Produtos notáveis: fórmulas e 8 exercícios resolvidos

O quadrado da soma é (a+b)² = a² + 2ab + b², nunca a² + b². Veja as fórmulas, a tabela de erros comuns e 8 exercícios resolvidos passo a passo, com conferência.

Recomendado para: 9º ano · 1ª série do Ensino Médio

Os produtos notáveis são produtos de polinômios que seguem um padrão fixo, então o resultado pode ser escrito direto, sem multiplicar termo a termo. O mais conhecido é o quadrado da soma: (a + b)² = a² + 2ab + b². Você vai usá-los em toda a álgebra: fatoração, equações e frações algébricas.

As fórmulas que você precisa conhecer

NomeFórmulaTermos do resultado
Quadrado da soma(a + b)² = a² + 2ab + b²3
Quadrado da diferença(a − b)² = a² − 2ab + b²3
Produto da soma pela diferença(a + b)(a − b) = a² − b²2
Cubo da soma(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³4
Cubo da diferença(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³4
Quadrado de um trinômio(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc6
Soma de cubosa³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)produto
Diferença de cubosa³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)produto

Quadrado da soma e da diferença

O quadrado de um binômio é o quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto dos dois termos, mais o quadrado do segundo. O dobro do produto leva o sinal do binômio: mais na soma, menos na diferença. Os quadrados são sempre positivos.

Exemplo: (2x + 7)² = 4x² + 28x + 49. Aqui o dobro do produto é 2 · 2x · 7 = 28x.

Por que existe o dobro do produto? Um quadrado de lado a + b se divide em um quadrado de área a², outro de área b² e dois retângulos de área a · b. É daí que vem o 2ab. Se você esquece esse termo, perde dois retângulos inteiros.

Produto da soma pela diferença

Quando os dois fatores têm os mesmos termos e sinais opostos, os termos do meio se cancelam e sobra a diferença dos quadrados: (A + B)(A − B) = A² − B². Exemplo: (5y + 2)(5y − 2) = 25y² − 4.

Atenção à ordem: o resultado é sempre “quadrado do termo positivo menos quadrado do termo negativo”. Em (3 − x)(3 + x) o resultado é 9 − x², não x² − 9.

Cubo da soma e da diferença

Os coeficientes 1, 3, 3, 1 vêm da quarta linha do triângulo de Pascal. Os expoentes de a descem de 3 a 0 e os de b sobem de 0 a 3. Na diferença, os sinais se alternam: +, −, +, −.

Exemplo: (2x + 1)³ = 8x³ + 3 · 4x² · 1 + 3 · 2x · 1 + 1 = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

Quadrado de um trinômio

Elevam-se os três termos ao quadrado e somam-se os três dobros dos produtos, cada um com o sinal de seus dois termos. Exemplo: (a + 2b − 3)² = a² + 4b² + 9 + 4ab − 6a − 12b.

Para conferir, substitua a = 1 e b = 1: à esquerda (1 + 2 − 3)² = 0 e à direita 1 + 4 + 9 + 4 − 6 − 12 = 0.

Como usar ao contrário

Lidas da direita para a esquerda, as mesmas fórmulas servem para fatorar. Procure um trinômio com dois quadrados perfeitos e um dobro de produto: é o quadrado de um binômio. Procure uma diferença de dois quadrados: ela se fatora como soma vezes diferença. Se as potências ainda dão trabalho, revise as propriedades da potenciação. Para usar os desenvolvimentos em equações, treine as equações do primeiro grau e depois as equações do segundo grau.

Os erros mais comuns

ErroPor que está erradoCorreção
(a + b)² = a² + b²Falta o dobro do produtoa² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − b²Confusão com a diferença de quadradosa² − 2ab + b²
(3x)² = 3x²O coeficiente não foi elevado ao quadrado9x²
(a − b)² = a² − 2ab − b²O quadrado de b é sempre positivoa² − 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + b³Faltam os dois termos mistosa³ + 3a²b + 3ab² + b³
− (x − 2)² desenvolvido como − x² − 4x + 4O sinal de menos na frente troca todos os sinais− x² + 4x − 4

Casos especiais para ficar de olho

  • Coeficientes e letras com potências: em (2x²y)² o quadrado é 4x⁴y², porque os expoentes dobram.
  • Primeiro termo negativo: em (−x + 3)² o primeiro termo é −x e seu quadrado é x². O desenvolvimento é x² − 6x + 9.
  • Frações: (x/2 + 1)² = x²/4 + x + 1, porque o dobro do produto é 2 · x/2 · 1 = x.
  • Vários quadrados na mesma expressão: desenvolva cada produto notável separadamente e depois reduza os termos semelhantes.

Um método em quatro passos

  1. Reconheça a forma: quantos termos o resultado deve ter e quais são os sinais dos fatores?
  2. Identifique A e B, colocando-os entre parênteses se tiverem coeficiente.
  3. Aplique a fórmula sem pular nenhum termo.
  4. Confira com um valor simples, como x = 1 ou x = 2.

Nos exercícios abaixo a dificuldade aumenta: das fórmulas básicas ao cálculo mental, à fatoração e às equações. Todos os resultados foram conferidos.

Exercícios resolvidos

1. Desenvolva (x + 5)². base

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  1. É o quadrado da soma de dois termos: (a + b)² = a² + 2ab + b², com a = x e b = 5.
  2. Quadrado do primeiro termo: x².
  3. Dobro do produto: 2 · x · 5 = 10x.
  4. Quadrado do segundo termo: 5² = 25.

Resposta: x² + 10x + 25

2. Desenvolva (3a − 2)². base

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  1. Uso (A − B)² = A² − 2AB + B², com A = 3a e B = 2.
  2. A² = (3a)² = 9a²: o coeficiente 3 também é elevado ao quadrado.
  3. Dobro do produto: 2 · 3a · 2 = 12a, com sinal de menos.
  4. B² = 4.

Resposta: 9a² − 12a + 4

3. Desenvolva (4x + 3)(4x − 3). base

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  1. Os fatores têm os mesmos termos e sinais opostos: é um produto da soma pela diferença, (A + B)(A − B) = A² − B².
  2. A = 4x, logo A² = 16x².
  3. B = 3, logo B² = 9.
  4. Os termos do meio se cancelam: não sobra nenhum termo em x.

Resposta: 16x² − 9

4. Marcos escreveu (x + 3)² = x² + 9. Encontre o erro, escreva o desenvolvimento correto e calcule a diferença entre os dois resultados para x = 2. intermedio

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  1. Marcos elevou cada termo ao quadrado e esqueceu o dobro do produto, 2 · x · 3 = 6x.
  2. Desenvolvimento correto: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
  3. Para x = 2 o valor correto é 4 + 12 + 9 = 25, que coincide com (2 + 3)² = 25.
  4. O resultado de Marcos vale 4 + 9 = 13.
  5. A diferença é 25 − 13 = 12, exatamente o termo que faltava, 6x com x = 2.

Resposta: Faltou o dobro do produto: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Para x = 2 temos 25 contra 13, diferença de 12.

5. Calcule de cabeça 99² e 51 · 49, sem calculadora. intermedio

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  1. Escrevo 99 = 100 − 1, então 99² = (100 − 1)² = 100² − 2 · 100 · 1 + 1² = 10.000 − 200 + 1 = 9.801.
  2. Escrevo 51 = 50 + 1 e 49 = 50 − 1: o produto é da soma pela diferença.
  3. 51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2.500 − 1 = 2.499.

Resposta: 99² = 9.801; 51 · 49 = 2.499

6. Desenvolva (x − 2)³. intermedio

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  1. Uso (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, com a = x e b = 2.
  2. a³ = x³.
  3. 3a²b = 3 · x² · 2 = 6x², com sinal de menos.
  4. 3ab² = 3 · x · 4 = 12x, com sinal de mais.
  5. b³ = 8, com sinal de menos.
  6. Verifico com x = 3: (3 − 2)³ = 1 e 27 − 54 + 36 − 8 = 1.

Resposta: x³ − 6x² + 12x − 8

7. Fatore 25x² − 30x + 9 e 49a² − 16b⁴. avanzato

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  1. Primeiro polinômio: 25x² = (5x)² e 9 = 3² são quadrados perfeitos.
  2. O termo do meio deve ser 2 · 5x · 3 = 30x: confere, com sinal de menos.
  3. Logo, 25x² − 30x + 9 = (5x − 3)².
  4. Segundo polinômio: 49a² = (7a)² e 16b⁴ = (4b²)², pois (b²)² = b⁴. É uma diferença de quadrados.
  5. 49a² − 16b⁴ = (7a − 4b²)(7a + 4b²).

Resposta: (5x − 3)² e (7a − 4b²)(7a + 4b²)

8. Resolva a equação (x + 4)² − (x − 4)² = 32. avanzato

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  1. Desenvolvo (x + 4)² = x² + 8x + 16.
  2. Desenvolvo (x − 4)² = x² − 8x + 16.
  3. Subtraio, lembrando de trocar todos os sinais do segundo desenvolvimento: x² + 8x + 16 − x² + 8x − 16 = 16x.
  4. A equação fica 16x = 32, então x = 2.
  5. Verificação: 6² − (−2)² = 36 − 4 = 32.

Resposta: x = 2

Perguntas frequentes

Como decorar as fórmulas dos produtos notáveis?

Basta lembrar da estrutura: o quadrado da soma ou da diferença tem sempre três termos (primeiro ao quadrado, dobro do produto e segundo ao quadrado), e o produto da soma pela diferença tem dois. O cubo segue os coeficientes 1, 3, 3, 1 do triângulo de Pascal.

Por que (a + b)² não é igual a a² + b²?

Porque (a + b)² significa (a + b)(a + b), e cada termo multiplica todos os outros. Aparecem a², ab, ab e b²: os dois produtos ab formam o termo do meio, 2ab.

Para que servem os produtos notáveis?

Servem para desenvolver produtos sem multiplicar termo a termo, fatorar polinômios, simplificar frações algébricas e fazer contas de cabeça, como 99² ou 101².

Como saber se um trinômio é um quadrado perfeito?

Verifique se dois termos são quadrados perfeitos e se o terceiro é o dobro do produto das raízes deles. Se for, o trinômio é o quadrado de um binômio; se não, é preciso fatorar de outra forma.

Qual é a diferença entre o quadrado da diferença e a diferença de quadrados?

O quadrado da diferença, (a − b)², tem três termos e um termo do meio. A diferença de quadrados, a² − b², tem dois termos e se fatora como (a + b)(a − b).