Matematica

Prodotti notevoli: formule e 8 esercizi svolti

Il quadrato di binomio è (a+b)² = a² + 2ab + b²: il doppio prodotto non va mai dimenticato. Formule, tabelle, errori comuni e 8 esercizi svolti passo passo.

Consigliato per: 1ª superiore · 2ª superiore

I prodotti notevoli sono prodotti tra polinomi che seguono uno schema fisso, quindi il risultato si scrive subito senza moltiplicare termine per termine. Il più famoso è il quadrato di binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b². Impararli bene serve in tutta l’algebra: scomposizioni, equazioni, frazioni algebriche.

Le formule da conoscere

NomeFormulaNumero di termini
Quadrato di binomio (somma)(a + b)² = a² + 2ab + b²3
Quadrato di binomio (differenza)(a − b)² = a² − 2ab + b²3
Somma per differenza(a + b)(a − b) = a² − b²2
Cubo di binomio (somma)(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³4
Cubo di binomio (differenza)(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³4
Quadrato di trinomio(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc6
Somma di cubia³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)prodotto
Differenza di cubia³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)prodotto

Quadrato di binomio

Il quadrato di un binomio è sempre il quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei due termini, più il quadrato del secondo. Il doppio prodotto ha il segno del binomio: più nella somma, meno nella differenza. I quadrati restano sempre positivi.

Esempio: (2x + 7)² = 4x² + 28x + 49. Qui il doppio prodotto è 2 · 2x · 7 = 28x.

Perché c’è il doppio prodotto? Un quadrato di lato a + b si divide in un quadrato di area a², uno di area b² e due rettangoli a · b. Per questo compare 2ab. Se lo dimentichi, perdi due rettangoli interi.

Somma per differenza

Quando i due fattori hanno gli stessi termini e segni opposti, i termini misti si annullano e resta la differenza dei quadrati: (A + B)(A − B) = A² − B². Esempio: (5y + 2)(5y − 2) = 25y² − 4.

Attenzione all’ordine: il risultato è sempre “quadrato del termine positivo meno quadrato del termine negativo”. Per (3 − x)(3 + x) il risultato è 9 − x², non x² − 9.

Cubo di binomio

I coefficienti 1, 3, 3, 1 sono quelli della quarta riga del triangolo di Tartaglia. Gli esponenti di a scendono da 3 a 0, quelli di b salgono da 0 a 3. Nella differenza i segni si alternano: +, −, +, −.

Esempio: (2x + 1)³ = 8x³ + 3 · 4x² · 1 + 3 · 2x · 1 + 1 = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

Quadrato di trinomio

Si elevano al quadrato i tre termini e si aggiungono i tre doppi prodotti, ciascuno con il segno dei suoi due termini. Esempio: (a + 2b − 3)² = a² + 4b² + 9 + 4ab − 6a − 12b.

Come controllo, sostituisci a = 1 e b = 1: a sinistra (1 + 2 − 3)² = 0, a destra 1 + 4 + 9 + 4 − 6 − 12 = 0.

Come usarli al contrario

Le stesse formule, lette da destra a sinistra, servono per scomporre. Cerca un trinomio con due quadrati perfetti e un doppio prodotto: è un quadrato di binomio. Cerca una differenza di due quadrati: è un prodotto somma per differenza. Se non ricordi come si gestiscono le potenze, ripassa le proprietà delle potenze. Per usare lo sviluppo dentro un’equazione, ti aiutano le equazioni di primo grado e poi le equazioni di secondo grado.

Gli errori più comuni

ErrorePerché è sbagliatoCorrezione
(a + b)² = a² + b²Manca il doppio prodottoa² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − b²Confusione con la somma per differenzaa² − 2ab + b²
(3x)² = 3x²Il coefficiente non è elevato al quadrato9x²
(a − b)² = a² − 2ab − b²Il quadrato di b è sempre positivoa² − 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + b³Mancano i due termini mistia³ + 3a²b + 3ab² + b³
− (x − 2)² sviluppato come − x² − 4x + 4Il meno davanti cambia tutti i segni− x² + 4x − 4

Casi limite da tenere d’occhio

  • Coefficienti e lettere con potenze: in (2x²y)² il quadrato vale 4x⁴y², perché gli esponenti si raddoppiano.
  • Termine negativo con coefficiente: in (−x + 3)² il primo termine è −x e il suo quadrato è x². Lo sviluppo è x² − 6x + 9.
  • Frazioni: (x/2 + 1)² = x²/4 + x + 1, perché il doppio prodotto è 2 · x/2 · 1 = x.
  • Più quadrati nella stessa espressione: sviluppa ogni prodotto notevole separatamente, poi riduci i termini simili.

Un metodo in quattro passi

  1. Riconosci la forma: quanti termini ha il risultato e che segni hanno i fattori?
  2. Identifica A e B, scrivendoli tra parentesi se hanno coefficienti.
  3. Applica la formula senza saltare nessun termine.
  4. Controlla con un valore semplice, per esempio x = 1 o x = 2.

Negli esercizi qui sotto la difficoltà cresce: dalle formule base ai calcoli a mente, fino a scomposizioni ed equazioni. Ogni risultato è verificato.

Esercizi svolti

1. Sviluppa (x + 5)². base

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  1. Riconosco il quadrato di un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b², con a = x e b = 5.
  2. Quadrato del primo termine: x².
  3. Doppio prodotto: 2 · x · 5 = 10x.
  4. Quadrato del secondo termine: 5² = 25.

Risultato: x² + 10x + 25

2. Sviluppa (3a − 2)². base

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  1. Uso (A − B)² = A² − 2AB + B², con A = 3a e B = 2.
  2. A² = (3a)² = 9a²: il coefficiente 3 va elevato al quadrato insieme alla lettera.
  3. Doppio prodotto: 2 · 3a · 2 = 12a, con segno meno.
  4. B² = 4.

Risultato: 9a² − 12a + 4

3. Sviluppa (4x + 3)(4x − 3). base

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  1. I due fattori hanno gli stessi termini e segni opposti: è una somma per differenza, (A + B)(A − B) = A² − B².
  2. A = 4x, quindi A² = 16x².
  3. B = 3, quindi B² = 9.
  4. Il doppio prodotto si cancella: non compare nessun termine in x.

Risultato: 16x² − 9

4. Marco scrive (x + 3)² = x² + 9. Trova l'errore, scrivi lo sviluppo corretto e calcola di quanto differiscono i due risultati per x = 2. intermedio

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  1. Marco ha elevato al quadrato i due termini e ha dimenticato il doppio prodotto 2 · x · 3 = 6x.
  2. Sviluppo corretto: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
  3. Per x = 2 il risultato corretto vale 4 + 12 + 9 = 25, ed è proprio (2 + 3)² = 25.
  4. Il risultato di Marco vale 4 + 9 = 13.
  5. La differenza è 25 − 13 = 12, cioè esattamente il termine mancante 6x con x = 2.

Risultato: Manca il doppio prodotto: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Per x = 2 si ha 25 contro 13, differenza 12.

5. Calcola a mente, senza calcolatrice, 99² e 51 · 49. intermedio

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  1. Scrivo 99 = 100 − 1, così 99² = (100 − 1)² = 100² − 2 · 100 · 1 + 1² = 10 000 − 200 + 1 = 9801.
  2. Scrivo 51 = 50 + 1 e 49 = 50 − 1: il prodotto è una somma per differenza.
  3. 51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499.

Risultato: 99² = 9801; 51 · 49 = 2499

6. Sviluppa (x − 2)³. intermedio

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  1. Uso (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, con a = x e b = 2.
  2. a³ = x³.
  3. 3a²b = 3 · x² · 2 = 6x², con segno meno.
  4. 3ab² = 3 · x · 4 = 12x, con segno più.
  5. b³ = 8, con segno meno.
  6. Controllo con x = 3: (3 − 2)³ = 1 e 27 − 54 + 36 − 8 = 1.

Risultato: x³ − 6x² + 12x − 8

7. Scomponi 25x² − 30x + 9 e 49a² − 16b⁴. avanzato

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  1. Primo polinomio: 25x² = (5x)² e 9 = 3² sono quadrati.
  2. Il termine centrale deve essere 2 · 5x · 3 = 30x: coincide, con segno meno.
  3. Quindi 25x² − 30x + 9 = (5x − 3)².
  4. Secondo polinomio: 49a² = (7a)² e 16b⁴ = (4b²)², perché (b²)² = b⁴. È una differenza di quadrati.
  5. 49a² − 16b⁴ = (7a − 4b²)(7a + 4b²).

Risultato: (5x − 3)² e (7a − 4b²)(7a + 4b²)

8. Risolvi l'equazione (x + 4)² − (x − 4)² = 32. avanzato

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  1. Sviluppo (x + 4)² = x² + 8x + 16.
  2. Sviluppo (x − 4)² = x² − 8x + 16.
  3. Sottraggo, ricordando di cambiare i segni del secondo sviluppo: x² + 8x + 16 − x² + 8x − 16 = 16x.
  4. L'equazione diventa 16x = 32, quindi x = 2.
  5. Verifica: 6² − (−2)² = 36 − 4 = 32.

Risultato: x = 2

Domande frequenti

Come si ricordano le formule dei prodotti notevoli?

Basta ricordare la struttura: il quadrato di binomio ha sempre tre termini (primo al quadrato, doppio prodotto, secondo al quadrato), la somma per differenza ne ha due. Il cubo segue i coefficienti 1, 3, 3, 1 del triangolo di Tartaglia.

Perché (a + b)² non fa a² + b²?

Perché (a + b)² significa (a + b)(a + b) e ogni termine va moltiplicato per ogni altro. Si ottengono a², ab, ab e b²: i due prodotti misti ab formano il doppio prodotto 2ab.

A cosa servono i prodotti notevoli?

Servono a sviluppare rapidamente un prodotto senza moltiplicare termine per termine, a scomporre polinomi, a semplificare frazioni algebriche e a calcolare a mente quadrati come 99² o 101².

Come si riconosce un quadrato di binomio da scomporre?

Controlla che due termini siano quadrati perfetti e che il terzo sia il loro doppio prodotto: se è così il trinomio è il quadrato di un binomio, altrimenti va scomposto in altro modo.

Qual è la differenza tra quadrato di binomio e differenza di quadrati?

Il quadrato di binomio, come (a − b)², ha tre termini e un doppio prodotto. La differenza di quadrati, a² − b², ne ha due e si scompone in (a + b)(a − b).