Mathematik

Binomische Formeln: Übersicht und 8 Aufgaben mit Lösungen

Die 1. binomische Formel lautet (a+b)² = a² + 2ab + b², nicht a² + b². Alle Formeln, typische Fehler und 8 Aufgaben mit Lösung Schritt für Schritt erklärt.

Empfohlen für: 9. Klasse · 10. Klasse

Die binomischen Formeln sind feste Muster, mit denen du Klammern ohne Glied-für-Glied-Rechnen ausmultiplizierst oder Terme faktorisierst. Die bekannteste ist die 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b². Du brauchst sie in der ganzen Algebra: beim Faktorisieren, bei Gleichungen und bei Bruchtermen.

Die Formeln im Überblick

NameFormelGlieder im Ergebnis
1. binomische Formel(a + b)² = a² + 2ab + b²3
2. binomische Formel(a − b)² = a² − 2ab + b²3
3. binomische Formel(a + b)(a − b) = a² − b²2
Dritte Potenz einer Summe(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³4
Dritte Potenz einer Differenz(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³4
Quadrat eines Trinoms(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc6
Summe zweier Kubikzahlena³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)Produkt
Differenz zweier Kubikzahlena³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)Produkt

Im Unterricht stehen meist die ersten drei Formeln im Mittelpunkt. Die Formeln für die dritte Potenz kommen oft später dazu.

1. und 2. binomische Formel

Das Quadrat eines Binoms ist das Quadrat des ersten Glieds, plus das doppelte Produkt beider Glieder, plus das Quadrat des zweiten Glieds. Das doppelte Produkt trägt das Vorzeichen des Binoms: Plus bei der Summe, Minus bei der Differenz. Die Quadrate sind immer positiv.

Beispiel: (2x + 7)² = 4x² + 28x + 49. Das doppelte Produkt ist 2 · 2x · 7 = 28x.

Warum gibt es das doppelte Produkt? Ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b zerfällt in ein Quadrat mit Fläche a², eines mit Fläche b² und zwei Rechtecke mit Fläche a · b. Daher kommt 2ab. Wer es vergisst, verliert zwei ganze Rechtecke.

3. binomische Formel

Haben beide Klammern dieselben Glieder mit entgegengesetztem Vorzeichen, heben sich die gemischten Glieder auf und es bleibt die Differenz der Quadrate: (A + B)(A − B) = A² − B². Beispiel: (5y + 2)(5y − 2) = 25y² − 4.

Achte auf die Reihenfolge: Das Ergebnis lautet immer „Quadrat des positiven Glieds minus Quadrat des negativen Glieds“. Bei (3 − x)(3 + x) erhältst du 9 − x² und nicht x² − 9.

Dritte Potenz einer Summe oder Differenz

Die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 stammen aus der vierten Zeile des Pascalschen Dreiecks. Die Exponenten von a sinken von 3 auf 0, die von b steigen von 0 auf 3. Bei der Differenz wechseln die Vorzeichen: +, −, +, −.

Beispiel: (2x + 1)³ = 8x³ + 3 · 4x² · 1 + 3 · 2x · 1 + 1 = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

Quadrat eines Trinoms

Quadriere alle drei Glieder und addiere die drei doppelten Produkte, jeweils mit dem Vorzeichen ihrer beiden Glieder. Beispiel: (a + 2b − 3)² = a² + 4b² + 9 + 4ab − 6a − 12b.

Zur Kontrolle setzt du a = 1 und b = 1 ein: Links gilt (1 + 2 − 3)² = 0, rechts 1 + 4 + 9 + 4 − 6 − 12 = 0.

Rückwärts anwenden

Von rechts nach links gelesen helfen dieselben Formeln beim Faktorisieren. Suche ein Trinom mit zwei Quadraten und einem doppelten Produkt: Es ist das Quadrat eines Binoms. Suche eine Differenz zweier Quadrate: Sie wird zu Summe mal Differenz. Falls die Potenzen noch wackeln, wiederhole die Potenzgesetze. Um das Ausmultiplizieren in Gleichungen zu nutzen, übe lineare Gleichungen und danach quadratische Gleichungen.

Die häufigsten Fehler

FehlerWarum falschRichtig
(a + b)² = a² + b²Das doppelte Produkt fehlta² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − b²Verwechslung mit der 3. Formela² − 2ab + b²
(3x)² = 3x²Der Faktor 3 wurde nicht quadriert9x²
(a − b)² = a² − 2ab − b²Das Quadrat von b ist immer positiva² − 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + b³Die beiden gemischten Glieder fehlena³ + 3a²b + 3ab² + b³
− (x − 2)² als − x² − 4x + 4Das Minus davor dreht alle Vorzeichen um− x² + 4x − 4

Sonderfälle

  • Faktoren und Potenzen bei Variablen: In (2x²y)² ist das Quadrat 4x⁴y², weil sich die Exponenten verdoppeln.
  • Negatives erstes Glied: In (−x + 3)² ist das erste Glied −x, sein Quadrat ist x². Das Ergebnis ist x² − 6x + 9.
  • Brüche: (x/2 + 1)² = x²/4 + x + 1, denn das doppelte Produkt ist 2 · x/2 · 1 = x.
  • Mehrere Quadrate in einem Term: Wende jede Formel einzeln an und fasse dann gleichartige Glieder zusammen.

Vorgehen in vier Schritten

  1. Erkenne die Form: Wie viele Glieder hat das Ergebnis, welche Vorzeichen haben die Klammern?
  2. Bestimme A und B und setze sie bei Faktoren in Klammern.
  3. Wende die Formel an, ohne ein Glied auszulassen.
  4. Mache die Probe mit einem einfachen Wert, etwa x = 1 oder x = 2.

In den Aufgaben unten steigt der Schwierigkeitsgrad: von den Grundformeln über Kopfrechnen bis zu Faktorisierung und Gleichungen. Jede Lösung ist überprüft.

Gelöste Aufgaben

1. Multipliziere aus: (x + 5)². base

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  1. Das ist die 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b², mit a = x und b = 5.
  2. Quadrat des ersten Glieds: x².
  3. Doppeltes Produkt: 2 · x · 5 = 10x.
  4. Quadrat des zweiten Glieds: 5² = 25.

Ergebnis: x² + 10x + 25

2. Multipliziere aus: (3a − 2)². base

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  1. Ich nutze die 2. binomische Formel (A − B)² = A² − 2AB + B², mit A = 3a und B = 2.
  2. A² = (3a)² = 9a²: Der Faktor 3 wird mit der Variablen quadriert.
  3. Doppeltes Produkt: 2 · 3a · 2 = 12a, mit Minuszeichen.
  4. B² = 4.

Ergebnis: 9a² − 12a + 4

3. Multipliziere aus: (4x + 3)(4x − 3). base

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  1. Beide Faktoren haben dieselben Glieder mit entgegengesetztem Vorzeichen: 3. binomische Formel, (A + B)(A − B) = A² − B².
  2. A = 4x, also A² = 16x².
  3. B = 3, also B² = 9.
  4. Die gemischten Glieder heben sich auf, es bleibt kein Term mit x.

Ergebnis: 16x² − 9

4. Max schreibt (x + 3)² = x² + 9. Finde den Fehler, gib die richtige Lösung an und berechne den Unterschied beider Ergebnisse für x = 2. intermedio

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  1. Max hat beide Glieder quadriert und das doppelte Produkt 2 · x · 3 = 6x vergessen.
  2. Richtig: (x + 3)² = x² + 6x + 9.
  3. Für x = 2 gilt: 4 + 12 + 9 = 25, passend zu (2 + 3)² = 25.
  4. Das Ergebnis von Max liefert 4 + 9 = 13.
  5. Der Unterschied ist 25 − 13 = 12, genau das fehlende Glied 6x bei x = 2.

Ergebnis: Das doppelte Produkt fehlt: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Für x = 2 ergibt sich 25 statt 13, Unterschied 12.

5. Berechne im Kopf 99² und 51 · 49, ohne Taschenrechner. intermedio

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  1. Ich schreibe 99 = 100 − 1, also 99² = (100 − 1)² = 100² − 2 · 100 · 1 + 1² = 10.000 − 200 + 1 = 9.801.
  2. Ich schreibe 51 = 50 + 1 und 49 = 50 − 1: Das Produkt hat die Form der 3. binomischen Formel.
  3. 51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2.500 − 1 = 2.499.

Ergebnis: 99² = 9.801; 51 · 49 = 2.499

6. Multipliziere aus: (x − 2)³. intermedio

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  1. Ich nutze (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, mit a = x und b = 2.
  2. a³ = x³.
  3. 3a²b = 3 · x² · 2 = 6x², mit Minuszeichen.
  4. 3ab² = 3 · x · 4 = 12x, mit Pluszeichen.
  5. b³ = 8, mit Minuszeichen.
  6. Probe mit x = 3: (3 − 2)³ = 1 und 27 − 54 + 36 − 8 = 1.

Ergebnis: x³ − 6x² + 12x − 8

7. Faktorisiere 25x² − 30x + 9 und 49a² − 16b⁴. avanzato

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  1. Erstes Polynom: 25x² = (5x)² und 9 = 3² sind Quadratzahlen.
  2. Das mittlere Glied muss 2 · 5x · 3 = 30x sein: Es stimmt, mit Minuszeichen.
  3. Also 25x² − 30x + 9 = (5x − 3)².
  4. Zweites Polynom: 49a² = (7a)² und 16b⁴ = (4b²)², denn (b²)² = b⁴. Das ist eine Differenz zweier Quadrate.
  5. 49a² − 16b⁴ = (7a − 4b²)(7a + 4b²).

Ergebnis: (5x − 3)² und (7a − 4b²)(7a + 4b²)

8. Löse die Gleichung (x + 4)² − (x − 4)² = 32. avanzato

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  1. Ausmultiplizieren: (x + 4)² = x² + 8x + 16.
  2. Ausmultiplizieren: (x − 4)² = x² − 8x + 16.
  3. Subtrahieren und dabei alle Vorzeichen der zweiten Klammer umkehren: x² + 8x + 16 − x² + 8x − 16 = 16x.
  4. Die Gleichung lautet 16x = 32, also x = 2.
  5. Probe: 6² − (−2)² = 36 − 4 = 32.

Ergebnis: x = 2

Häufige Fragen

Wie merke ich mir die drei binomischen Formeln?

Merke dir den Aufbau: Die 1. und 2. Formel haben drei Glieder (erstes Quadrat, doppeltes Produkt, zweites Quadrat), die 3. Formel hat nur zwei. Für die dritte Potenz gelten die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 aus dem Pascalschen Dreieck.

Warum ist (a + b)² nicht gleich a² + b²?

Weil (a + b)² bedeutet (a + b)(a + b) und jedes Glied mit jedem multipliziert wird. Es entstehen a², ab, ab und b²: Die beiden ab ergeben das doppelte Produkt 2ab.

Wofür braucht man binomische Formeln?

Mit ihnen multiplizierst du Klammern schnell aus, faktorisierst Terme, vereinfachst Bruchterme, löst quadratische Gleichungen und rechnest im Kopf Quadrate wie 99² oder 101².

Wie erkenne ich, ob ich rückwärts eine binomische Formel anwenden kann?

Prüfe, ob zwei Glieder Quadrate sind und das dritte das doppelte Produkt der Wurzeln ist. Dann ist der Term ein Quadrat einer Summe oder Differenz. Gibt es nur zwei Quadrate mit Minus dazwischen, ist es die 3. Formel.

Was ist der Unterschied zwischen (a − b)² und a² − b²?

(a − b)² ist die 2. binomische Formel und ergibt a² − 2ab + b² mit drei Gliedern. a² − b² ist die Differenz zweier Quadrate und wird zu (a + b)(a − b) faktorisiert.