Productos notables: fórmulas y 8 ejercicios resueltos

Los productos notables (o identidades notables) son productos de polinomios que siguen un patrón fijo, de modo que el resultado se escribe directamente sin multiplicar término a término. El más conocido es el cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b². Los necesitarás en toda el álgebra: factorización, ecuaciones y fracciones algebraicas.

Las fórmulas que debes conocer

Nombre	Fórmula	Términos del resultado
Cuadrado de una suma	(a + b)² = a² + 2ab + b²	3
Cuadrado de una diferencia	(a − b)² = a² − 2ab + b²	3
Suma por diferencia	(a + b)(a − b) = a² − b²	2
Cubo de una suma	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³	4
Cubo de una diferencia	(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³	4
Cuadrado de un trinomio	(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc	6
Suma de cubos	a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)	producto
Diferencia de cubos	a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)	producto

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es el cuadrado del primer término, más el doble producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo. El doble producto lleva el signo del binomio: más en la suma, menos en la diferencia. Los cuadrados son siempre positivos.

Ejemplo: (2x + 7)² = 4x² + 28x + 49. Aquí el doble producto es 2 · 2x · 7 = 28x.

¿Por qué aparece el doble producto? Un cuadrado de lado a + b se divide en un cuadrado de área a², otro de área b² y dos rectángulos de área a · b. De ahí sale 2ab. Si lo olvidas, pierdes dos rectángulos enteros.

Suma por diferencia

Cuando los dos factores tienen los mismos términos y signos opuestos, los términos centrales se anulan y queda la diferencia de cuadrados: (A + B)(A − B) = A² − B². Ejemplo: (5y + 2)(5y − 2) = 25y² − 4.

Cuidado con el orden: el resultado es siempre «cuadrado del término positivo menos cuadrado del término negativo». En (3 − x)(3 + x) el resultado es 9 − x², no x² − 9.

Cubo de un binomio

Los coeficientes 1, 3, 3, 1 son los de la cuarta fila del triángulo de Pascal. Los exponentes de a bajan de 3 a 0 y los de b suben de 0 a 3. En la diferencia los signos se alternan: +, −, +, −.

Ejemplo: (2x + 1)³ = 8x³ + 3 · 4x² · 1 + 3 · 2x · 1 + 1 = 8x³ + 12x² + 6x + 1.

Cuadrado de un trinomio

Se elevan al cuadrado los tres términos y se suman los tres dobles productos, cada uno con el signo de sus dos términos. Ejemplo: (a + 2b − 3)² = a² + 4b² + 9 + 4ab − 6a − 12b.

Para comprobarlo, sustituye a = 1 y b = 1: a la izquierda (1 + 2 − 3)² = 0 y a la derecha 1 + 4 + 9 + 4 − 6 − 12 = 0.

Cómo usarlos al revés

Leídas de derecha a izquierda, las mismas fórmulas sirven para factorizar. Busca un trinomio con dos cuadrados perfectos y un doble producto: es el cuadrado de un binomio. Busca una diferencia de dos cuadrados: se factoriza como suma por diferencia. Si las potencias aún te fallan, repasa las propiedades de las potencias. Para usar los desarrollos dentro de una ecuación, practica las ecuaciones de primer grado y después las ecuaciones de segundo grado.

Los errores más frecuentes

Error	Por qué es incorrecto	Corrección
(a + b)² = a² + b²	Falta el doble producto	a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − b²	Se confunde con la suma por diferencia	a² − 2ab + b²
(3x)² = 3x²	El coeficiente no se eleva al cuadrado	9x²
(a − b)² = a² − 2ab − b²	El cuadrado de b siempre es positivo	a² − 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + b³	Faltan los dos términos mixtos	a³ + 3a²b + 3ab² + b³
− (x − 2)² desarrollado como − x² − 4x + 4	El menos delante cambia todos los signos	− x² + 4x − 4

Casos límite que debes vigilar

• Coeficientes y letras con potencias: en (2x²y)² el cuadrado es 4x⁴y², porque los exponentes se duplican.
• Primer término negativo: en (−x + 3)² el primer término es −x y su cuadrado es x². El desarrollo es x² − 6x + 9.
• Fracciones: (x/2 + 1)² = x²/4 + x + 1, porque el doble producto es 2 · x/2 · 1 = x.
• Varios cuadrados en la misma expresión: desarrolla cada producto notable por separado y después reduce los términos semejantes.

Un método en cuatro pasos

1. Reconoce la forma: ¿cuántos términos debe tener el resultado y qué signos tienen los factores?
2. Identifica A y B, escribiéndolos entre paréntesis si llevan coeficiente.
3. Aplica la fórmula sin saltarte ningún término.
4. Comprueba con un valor sencillo, por ejemplo x = 1 o x = 2.

En los ejercicios siguientes la dificultad aumenta: de las fórmulas básicas al cálculo mental, la factorización y las ecuaciones. Todos los resultados están comprobados.