Relations métriques du triangle rectangle : 8 exercices

Les relations métriques dans le triangle rectangle décrivent ce qui se passe lorsqu’on trace la hauteur relative à l’hypoténuse. Les deux principales, appelées aussi théorèmes d’Euclide, tiennent en une ligne : b² = a × p et h² = p × q, où a est l’hypoténuse, b un côté de l’angle droit, p sa projection sur l’hypoténuse, q l’autre projection et h la hauteur.

Autrement dit : chaque côté de l’angle droit est la moyenne géométrique de l’hypoténuse et de sa propre projection, et la hauteur est la moyenne géométrique des deux projections. Ces relations servent dans tous les exercices où apparaissent la hauteur relative à l’hypoténuse ou les projections, là précisément où le théorème de Pythagore seul ne suffit pas. Elles figurent explicitement aux programmes belge, suisse et québécois ; en France on les retrouve sous la forme de triangles semblables, et elles restent un raccourci très efficace de la Troisième à la Terminale.

Les cinq éléments de la figure

Avant les formules, il faut savoir lire le dessin. Dans un triangle ABC rectangle en A, la hauteur issue de A coupe l’hypoténuse BC en un point H, et cinq grandeurs apparaissent.

Lettre	Notation avec les points	Ce que c’est
a	BC	l’hypoténuse, le côté opposé à l’angle droit, le plus long
b	AB	un côté de l’angle droit
c	AC	l’autre côté de l’angle droit
h	AH	la hauteur relative à l’hypoténuse
p	BH	la projection de b sur l’hypoténuse
q	CH	la projection de c sur l’hypoténuse

Deux égalités sont toujours vraies et constituent la vérification la plus rapide : p + q = a (les projections reconstituent l’hypoténuse) et h ≤ a ÷ 2 (la hauteur ne dépasse jamais la moitié de l’hypoténuse).

Toutes les relations dans un tableau

Relation	Avec des lettres	Avec les points
Relation du côté (1er théorème)	b² = a × p et c² = a × q	AB² = BH × BC et AC² = CH × BC
Relation de la hauteur (2e théorème)	h² = p × q	AH² = BH × CH
Relation de l’aire	b × c = a × h	AB × AC = AH × BC
Somme des projections	a = p + q	BC = BH + CH
Théorème de Pythagore	b² + c² = a²	AB² + AC² = BC²

La dernière ligne n’est pas une relation indépendante : en additionnant b² = a × p et c² = a × q on obtient b² + c² = a × (p + q) = a × a = a². Le théorème de Pythagore est donc contenu dans les relations métriques, ce qui explique qu’on les étudie juste après lui.

La forme de proportion

Les manuels énoncent aussi les deux relations sous forme de proportions, et là le mot moyenne s’explique de lui-même :

a : b = b : p (relation du côté) et p : h = h : q (relation de la hauteur)

Dans les deux cas, la même grandeur occupe les deux places du milieu. Comme dans toute proportion le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, a : b = b : p donne immédiatement b² = a × p.

Quelle relation choisir : le tableau de décision

C’est ici que les points se perdent, bien plus que dans les calculs. La méthode consiste à regarder ce que l’énoncé fournit.

Données de l’énoncé	Ce qu’il faut utiliser	Formule
l’hypoténuse et une projection	relation du côté	b = √(a × p)
un côté et sa projection	relation du côté, en isolant a	a = b² ÷ p
un côté et l’hypoténuse	relation du côté, en isolant p	p = b² ÷ a
les deux projections	relation de la hauteur	h = √(p × q)
les deux côtés de l’angle droit	Pythagore + relation de l’aire	a = √(b² + c²), puis h = (b × c) ÷ a
un côté et la hauteur	Pythagore dans le petit triangle	p = √(b² - h²)
l’hypoténuse et la hauteur	somme et produit des projections	x² - a·x + h² = 0

Les deux dernières lignes sont celles qui bloquent : aucune relation métrique ne relie directement un côté de l’angle droit à la hauteur. Quand l’énoncé donne exactement ce couple, le passage obligé est Pythagore dans l’un des deux petits triangles, dont les côtés de l’angle droit sont h et une projection, et dont l’hypoténuse est un côté du grand triangle.

Un triangle entièrement calculé : 15-20-25

Il vaut la peine de retenir un triangle où toutes les valeurs sont entières : un résultat faux se repère alors immédiatement.

Grandeur	Valeur	D’où elle vient
côtés de l’angle droit	b = 15, c = 20	données de départ
hypoténuse	a = 25	Pythagore : √(225 + 400) = √625
projection de b	p = 9	relation du côté : 225 ÷ 25
projection de c	q = 16	relation du côté : 400 ÷ 25
hauteur	h = 12	relation de la hauteur : √(9 × 16) = √144
aire	150	(15 × 20) ÷ 2 et aussi (25 × 12) ÷ 2

Toutes les vérifications tombent juste : 9 + 16 = 25 et 15 × 20 = 25 × 12 = 300. Deux autres triangles commodes, entièrement entiers, sont 30-40-50 (p = 18, q = 32, h = 24) et 45-60-75 (p = 27, q = 48, h = 36) : ce sont des multiples du triplet 3-4-5, et c’est pour cela que les projections sont entières.

Pourquoi ça marche : les triangles semblables

La hauteur découpe le triangle rectangle en deux triangles rectangles plus petits. Chacun possède un angle droit et partage un angle aigu avec le triangle initial : les trois triangles sont donc semblables, mêmes angles et côtés proportionnels.

Triangle	Côtés de l’angle droit	Hypoténuse
le grand	b, c	a
le petit, à gauche	h, p	b
le petit, à droite	h, q	c

Toutes les relations en découlent. Entre le grand triangle et celui de gauche, le rapport hypoténuse sur côté adjacent est le même : a : b = b : p, c’est la relation du côté. Entre les deux petits triangles, le rapport de leurs côtés donne p : h = h : q, la relation de la hauteur. Ce ne sont pas deux formules à mémoriser séparément : c’est une même similitude lue dans deux sens.

Le cas limite : jusqu’où peut monter la hauteur

À hypoténuse fixée, la hauteur ne peut pas croître indéfiniment. De p + q = a et p × q = h², on déduit que p et q sont les solutions de x² - a·x + h² = 0, qui n’existent que si le discriminant est positif ou nul :

a² - 4h² ≥ 0, c’est-à-dire h ≤ a ÷ 2

Le maximum est atteint pour Δ = 0, donc p = q = a ÷ 2 : c’est le triangle rectangle isocèle, le seul dont la hauteur vaut exactement la moitié de l’hypoténuse. Avec une hypoténuse de 10 cm, par exemple, la hauteur ne peut pas dépasser 5 cm, et les côtés de l’angle droit de ce cas limite mesurent √(10 × 5) = √50 ≈ 7,07 cm.

Le test vaut d’être fait avant de se lancer dans les calculs : si un énoncé annonce une hypoténuse de 10 cm et une hauteur de 6 cm, le triangle n’existe pas, et le dire est la réponse attendue. L’exercice 8 ci-dessous est précisément de ce type.

Les erreurs les plus fréquentes

• Associer un côté à la mauvaise projection. b va avec p, c va avec q : chaque côté de l’angle droit va avec la projection qui part du même sommet. Écrire b² = a × q est l’erreur numéro un, et elle donne un résultat vraisemblable mais faux.
• Utiliser la relation de la hauteur avec les côtés. h² = p × q relie la hauteur aux projections, pas aux côtés de l’angle droit. Écrire h² = b × c n’a pas de sens : avec les côtés, la relation correcte est b × c = a × h.
• Oublier la racine carrée. De b² = 225 on tire b = 15, pas 225. C’est le point le plus coûteux en contrôle.
• Additionner au lieu de soustraire pour la seconde projection. Si a = 25 et p = 9, alors q = 25 - 9 = 16, et non 25 + 9.
• Appliquer les relations à un triangle non rectangle, ou à une hauteur tracée sur un côté de l’angle droit au lieu de l’hypoténuse. Dans les deux cas les formules sont simplement fausses.
• Ne pas vérifier p + q = a. C’est le contrôle le plus rapide qui existe : si les projections ne reconstituent pas l’hypoténuse, l’erreur est en amont.
• Arrondir trop tôt. Avec des données comme 5,4 et 9,6 les résultats restent exacts jusqu’au bout : on arrondit seulement à la fin, et seulement si l’énoncé le demande.

Dans les huit exercices ci-dessous la difficulté augmente réellement, et aucun ne se résout comme le précédent. Les trois premiers appliquent les deux relations dans un sens puis dans l’autre ; le quatrième et le cinquième demandent une étape extérieure (Pythagore dans le petit triangle, puis la relation de l’aire) ; le sixième mène à une équation du second degré construite sur la somme et le produit des projections ; le septième part d’un rapport et non de longueurs ; le huitième est un triangle qui n’existe pas, et c’est le discriminant négatif qui le révèle.