Relações métricas no triângulo retângulo: 8 exercícios

As relações métricas no triângulo retângulo descrevem o que acontece quando se traça a altura relativa à hipotenusa. As duas principais — conhecidas também como teoremas de Euclides — cabem em uma linha: b² = a · m (relação do cateto) e h² = m · n (relação da altura), em que a é a hipotenusa, b é um cateto, m é a projeção desse cateto sobre a hipotenusa, n é a outra projeção e h é a altura.

Em palavras: cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e a sua própria projeção sobre ela, e a altura é média geométrica entre as duas projeções. São indispensáveis em todo exercício que menciona a altura relativa à hipotenusa ou as projeções dos catetos, exatamente onde o teorema de Pitágoras sozinho não resolve. Aparecem com frequência no ENEM e nos vestibulares.

Os cinco elementos da figura

Antes das fórmulas é preciso ler o desenho: em um triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A, ao traçar a altura de A até a hipotenusa BC surgem cinco grandezas.

Símbolo	O que é	Onde está no desenho
a	hipotenusa	o lado oposto ao ângulo reto, o mais longo
b, c	catetos	os dois lados que formam o ângulo reto
h	altura relativa à hipotenusa	do vértice do ângulo reto, perpendicular à hipotenusa
m	projeção do cateto b	o trecho de hipotenusa do lado de b
n	projeção do cateto c	o trecho de hipotenusa do lado de c

Duas relações valem sempre e são a conferência mais rápida de qualquer exercício: m + n = a (as projeções recompõem a hipotenusa) e h ≤ a : 2 (a altura nunca passa da metade da hipotenusa).

As cinco relações em uma tabela

Relação	Fórmula	Enunciado
Relação do cateto	b² = a · m e c² = a · n	cada cateto é média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção
Relação da altura	h² = m · n	a altura é média geométrica entre as duas projeções
Relação da área	b · c = a · h	a área sai dos catetos ou da hipotenusa com a altura
Soma das projeções	a = m + n	as duas projeções recompõem a hipotenusa
Teorema de Pitágoras	b² + c² = a²	consequência das duas primeiras somadas

A última linha não é uma relação independente: somando b² = a · m com c² = a · n obtém-se b² + c² = a · (m + n) = a · a = a². Ou seja, o teorema de Pitágoras está embutido nas relações métricas — é por isso que este conteúdo aparece logo depois dele no 9º ano.

A forma de proporção

Os livros também enunciam as relações como proporções, e nessa forma o nome média geométrica se explica sozinho:

a : b = b : m (relação do cateto) e m : h = h : n (relação da altura)

Nas duas, a mesma grandeza ocupa os dois lugares centrais. Como em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, de a : b = b : m sai imediatamente b² = a · m.

Qual relação usar: tabela de decisão

É aqui que se perdem mais pontos do que na conta. A regra é olhar quais grandezas o enunciado fornece.

Dados do problema	O que usar	Fórmula
hipotenusa e uma projeção	relação do cateto	b = √(a · m)
um cateto e a sua projeção	relação do cateto, isolando a	a = b² : m
um cateto e a hipotenusa	relação do cateto, isolando m	m = b² : a
as duas projeções	relação da altura	h = √(m · n)
os dois catetos	Pitágoras + relação da área	a = √(b² + c²), depois h = (b · c) : a
um cateto e a altura	Pitágoras no triângulo menor	m = √(b² - h²)
hipotenusa e altura	soma e produto das projeções	x² - a·x + h² = 0

As duas últimas linhas são as que travam: nenhuma relação métrica liga diretamente um cateto à altura. Quando o enunciado dá justamente esse par, o caminho é Pitágoras em um dos triângulos menores, cujos catetos são h e uma projeção e cuja hipotenusa é um cateto do triângulo maior.

Um triângulo resolvido por inteiro: 15-20-25

Vale decorar um triângulo em que todos os valores são inteiros, para reconhecer na hora um resultado errado.

Grandeza	Valor	De onde vem
catetos	b = 15, c = 20	dados iniciais
hipotenusa	a = 25	Pitágoras: √(225 + 400) = √625
projeção de b	m = 9	relação do cateto: 225 : 25
projeção de c	n = 16	relação do cateto: 400 : 25
altura	h = 12	relação da altura: √(9 · 16) = √144
área	150	(15 · 20) : 2 e também (25 · 12) : 2

Todas as conferências fecham: 9 + 16 = 25 e 15 · 20 = 25 · 12 = 300. Outros dois triângulos confortáveis, com todos os valores inteiros, são 30-40-50 (m = 18, n = 32, h = 24) e 45-60-75 (m = 27, n = 48, h = 36): são múltiplos do 3-4-5, e é por isso que as projeções saem inteiras.

Por que funcionam: triângulos semelhantes

A altura divide o triângulo retângulo em dois triângulos retângulos menores. Cada um tem um ângulo reto e compartilha um ângulo agudo com o original, então os três triângulos são semelhantes: mesmos ângulos e lados proporcionais.

Triângulo	Catetos	Hipotenusa
o maior	b, c	a
menor, à esquerda	h, m	b
menor, à direita	h, n	c

Daí saem todas as relações. Comparando o triângulo maior com o da esquerda, a razão entre hipotenusa e cateto adjacente é a mesma: a : b = b : m, que é a relação do cateto. Comparando os dois menores entre si, a razão dos catetos dá m : h = h : n, a relação da altura. Não são fórmulas soltas para memorizar: são a mesma semelhança lida em direções diferentes.

O caso-limite: quanto pode medir a altura

Fixada a hipotenusa, a altura não cresce indefinidamente. De m + n = a e m · n = h² segue que m e n são as raízes de x² - a·x + h² = 0, que existem apenas se o discriminante não for negativo:

a² - 4h² ≥ 0, ou seja h ≤ a : 2

O máximo ocorre quando Δ = 0, isto é m = n = a : 2: é o triângulo retângulo isósceles, o único cuja altura vale exatamente metade da hipotenusa. Com hipotenusa de 10 cm, por exemplo, a altura não passa de 5 cm, e os catetos desse caso-limite medem √(10 · 5) = √50 ≈ 7,07 cm.

Vale conferir isso antes de começar as contas: se um problema afirma hipotenusa 10 cm e altura 6 cm, o triângulo não existe, e dizer isso é a resposta. O exercício 8 é exatamente esse caso.

Erros mais comuns

• Casar o cateto com a projeção errada. b vai com m e c vai com n: cada cateto fica com a projeção que parte do seu próprio vértice. Escrever b² = a · n é o erro número um e produz um resultado plausível, mas falso.
• Usar h² = m · n com os catetos. Essa relação liga a altura às projeções, não aos catetos. Escrever h² = b · c não faz sentido: com os catetos a relação correta é b · c = a · h.
• Esquecer a raiz. De b² = 225 o cateto é 15, não 225. É o deslize que custa mais pontos na prova.
• Somar em vez de subtrair para achar a segunda projeção. Se a = 25 e m = 9, então n = 25 - 9 = 16, não 25 + 9.
• Aplicar as relações a um triângulo não retângulo, ou à altura traçada sobre um cateto em vez da hipotenusa. Nos dois casos as fórmulas são simplesmente falsas.
• Não conferir m + n = a. É a verificação mais rápida que existe: se as projeções não recompõem a hipotenusa, o erro está antes.
• Arredondar cedo demais. Com dados como 5,4 e 9,6 os resultados são exatos até o fim: arredonde só no final, e só se o enunciado pedir.

Nos oito exercícios abaixo a dificuldade cresce de verdade e nenhum se resolve como o anterior. Os três primeiros aplicam as duas relações para frente e para trás; o quarto e o quinto exigem um passo externo (Pitágoras no triângulo menor e depois a relação da área); o sexto chega a uma equação do 2º grau montada com a soma e o produto das projeções; o sétimo parte de uma razão em vez de medidas; o oitavo é um triângulo que não existe, e a pista é o discriminante negativo.